題目 Problem 10.(10%) Evaluate the double integral. ∫01∫0xy3(x+y2)2 dy dx\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\frac{y^3}{(x+y^2)^2}\,dy\,dx∫01∫0x(x+y2)2y3dydx 解答 解法一 先令 u=x+y2u=x+y^2u=x+y2 完成內積分，得到 ∫0112(ln(1+x)+11+x−1) dx=32ln2−1.\int_0^1\frac12\left(\ln(1+x)+\frac1{1+x}-1\right)\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac32\ln2-1}.∫0121(ln(1+x)+1+x1−1)dx=23ln2−1.
