題目 6. (10 points) Find all values of aaa so that the series ∑n=1∞sin(1n3a−1+3)\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left(\frac{1}{n^{3a-1}+3}\right)n=1∑∞sin(n3a−1+31) is divergent. 解答 解法一 當 3a−1>03a-1>03a−1>0 時，一般項與 n−(3a−1)n^{-(3a-1)}n−(3a−1) 同階，故在 3a−1≤13a-1\le13a−1≤1 時發散；若 3a−1≤03a-1\le03a−1≤0，一般項更不趨於 000。合併得 a≤23.\boxed{a\le\frac23}.a≤32.
