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113 台大微積分(C) 第 3 題

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113學年度 · 113微積分(C) · 第 3 題

題目

Problem

3. Let a∈Ra \in \mathbb{R} and f(x,y,z)f(x, y, z), g(x,y,z)g(x, y, z) be two smooth functions R3→R\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}. Consider the optimization problem:

Maximize f(x,y,z) subject to g(x,y,z)=a .\text{Maximize } f(x, y, z) \text{ subject to } g(x, y, z) = a \,.

Suppose, for each a∈Ra \in \mathbb{R}, it is known that (1) the maximum value fmax⁡(a)f_{\max}(a) of f(x,y,z)f(x,y,z) is attained at r(a)=(x∗(a),y∗(a),z∗(a))\mathbf{r}(a) = (x^*(a), y^*(a), z^*(a)). i.e. fmax⁡(a)=f(r(a))f_{\max}(a) = f(\mathbf{r}(a)); (2) there exists λ(a)∈R\lambda(a) \in \mathbb{R} such that ∇f(r(a))=λ(a)⋅∇g(r(a))\nabla f(\mathbf{r}(a)) = \lambda(a) \cdot \nabla g(\mathbf{r}(a)).

Answer the following questions.

(a) (10%) Prove that dfmax⁡da=λ(a)\displaystyle \frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \lambda(a).

(b) (10%) It is known that a differentiable function f(x,y,z)f(x,y,z), when restricted to the surface z=x3+y4−3xy2+1z = x^3 + y^4 - 3xy^2 + 1, attains a global maximum value at (−1,1,4)(-1, 1, 4). Moreover, fy(−1,1,4)=20f_y(-1, 1, 4) = 20. Use linearization to estimate the change of the maximum value when f(x,y,z)f(x,y,z) is restricted to the surface z=x3+y4−3xy2+0.8z = x^3 + y^4 - 3xy^2 + 0.8 instead.

解答

解法一

思路

展開

本題是拉格朗日乘子法敏感度定理（包絡定理 Envelope Theorem）的嚴格證明與應用題。

(a) 證明 dfmax⁡da=λ(a)\frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \lambda(a)

  • fmax⁡(a)=f(x∗(a),y∗(a),z∗(a))f_{\max}(a) = f(x^*(a), y^*(a), z^*(a))。
  • 使用鏈鎖律對 aa 求導： dfmax⁡da=∇f(r(a))⋅dr(a)da=fxdx∗da+fydy∗da+fzdz∗da\frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \nabla f(\mathbf{r}(a)) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(a)}{\mathrm{d}a} = f_x \frac{\mathrm{d}x^*}{\mathrm{d}a} + f_y \frac{\mathrm{d}y^*}{\mathrm{d}a} + f_z \frac{\mathrm{d}z^*}{\mathrm{d}a}
  • 代入已知拉格朗日乘子條件 ∇f(r(a))=λ(a)∇g(r(a))\nabla f(\mathbf{r}(a)) = \lambda(a) \nabla g(\mathbf{r}(a))： dfmax⁡da=λ(a)(∇g(r(a))⋅dr(a)da)\frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \lambda(a) \left( \nabla g(\mathbf{r}(a)) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(a)}{\mathrm{d}a} \right)
  • 另外，最優點必定滿足約束條件，即 g(x∗(a),y∗(a),z∗(a))=ag(x^*(a), y^*(a), z^*(a)) = a。
  • 對此约束式兩邊關於 aa 求導： ∇g(r(a))⋅dr(a)da=1\nabla g(\mathbf{r}(a)) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(a)}{\mathrm{d}a} = 1，代回即證。

(b) 利用線性近似估計最大值變化量

  • 約束表面方程式可寫為： g(x,y,z)=z−(x3+y4−3xy2)=ag(x,y,z) = z - (x^3 + y^4 - 3xy^2) = a。
  • 原先的限制常數為 a0=1a_0 = 1。此時最優點為 r(1)=(−1,1,4)\mathbf{r}(1) = (-1, 1, 4)。
  • 新的限制常數為 a1=0.8a_1 = 0.8。變化量為 Δa=0.8−1=−0.2\Delta a = 0.8 - 1 = -0.2。
  • 根據 (a) 小題結論，最大值隨 aa 的變化率即為拉格朗日乘子 λ(1)\lambda(1)。
  • 我們可由分量關係 fy=λgyf_y = \lambda g_y 求出該點的 λ(1)\lambda(1) 值。
    • 先求偏導： gy=∂g∂y=−4y3+6xyg_y = \frac{\partial g}{\partial y} = -4y^3 + 6xy。
    • 代入切點點求出 gy(−1,1,4)g_y(-1, 1, 4)，再由 20=λ(1)⋅gy20 = \lambda(1) \cdot g_y 解出 λ(1)=−2\lambda(1) = -2。
  • 最後，用線性近似估計最大值的改变量： Δfmax⁡≈λ(1)⋅Δa\Delta f_{\max} \approx \lambda(1) \cdot \Delta a。

答題過程

展開

(a) 證明 dfmax⁡da=λ(a)\displaystyle \frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \lambda(a)

根據定義，最大值函數為：

fmax⁡(a)=f(x∗(a),y∗(a),z∗(a))=f(r(a))f_{\max}(a) = f(x^*(a), y^*(a), z^*(a)) = f(\mathbf{r}(a))

其中最優點向量為 r(a)=⟨x∗(a), y∗(a), z∗(a)⟩\mathbf{r}(a) = \langle x^*(a),\, y^*(a),\, z^*(a) \rangle。

對 fmax⁡(a)f_{\max}(a) 關於 aa 進行求導（套用多元函數連鎖律）：

dfmax⁡da=∇f(r(a))⋅drda=∂f∂xdx∗da+∂f∂ydy∗da+∂f∂zdz∗da— (1)\frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \nabla f(\mathbf{r}(a)) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}a} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x^*}{\mathrm{d}a} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y^*}{\mathrm{d}a} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm{d}z^*}{\mathrm{d}a} \quad \text{--- (1)}

已知條件 (2) 指出，存在乘子 λ(a)\lambda(a) 使得 ∇f(r(a))=λ(a)⋅∇g(r(a))\nabla f(\mathbf{r}(a)) = \lambda(a) \cdot \nabla g(\mathbf{r}(a))。將其代入式 (1)：

dfmax⁡da=(λ(a)∇g(r(a)))⋅drda=λ(a)(∇g(r(a))⋅drda)— (2)\frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \left( \lambda(a) \nabla g(\mathbf{r}(a)) \right) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}a} = \lambda(a) \left( \nabla g(\mathbf{r}(a)) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}a} \right) \quad \text{--- (2)}

又因為對於所有的 aa，最優點 r(a)\mathbf{r}(a) 必須滿足約束條件：

g(x∗(a),y∗(a),z∗(a))=ag(x^*(a), y^*(a), z^*(a)) = a

將此恆等式兩邊同時關於 aa 求導（套用多元函數連鎖律）：

∇g(r(a))⋅drda=1  ⟹  ∂g∂xdx∗da+∂g∂ydy∗da+∂g∂zdz∗da=1— (3)\nabla g(\mathbf{r}(a)) \cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}a} = 1 \implies \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\mathrm{d}x^*}{\mathrm{d}a} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\mathrm{d}y^*}{\mathrm{d}a} + \frac{\partial g}{\partial z} \frac{\mathrm{d}z^*}{\mathrm{d}a} = 1 \quad \text{--- (3)}

將式 (3) 代回式 (2) 中，可得：

dfmax⁡da=λ(a)⋅1=λ(a)\frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} = \lambda(a) \cdot 1 = \lambda(a)

公式得證。

(b) 估計最大值的變化量

我們將限制表面寫成約束函數形式。令：

g(x,y,z)=z−x3−y4+3xy2=ag(x, y, z) = z - x^3 - y^4 + 3xy^2 = a

此時：

  • 原先的限制面為 z=x3+y4−3xy2+1  ⟹  a0=1z = x^3 + y^4 - 3xy^2 + 1 \implies a_0 = 1。
  • 新的限制面為 z=x3+y4−3xy2+0.8  ⟹  a1=0.8z = x^3 + y^4 - 3xy^2 + 0.8 \implies a_1 = 0.8。
  • 常數 aa 的變化量為： Δa=a1−a0=0.8−1=−0.2\Delta a = a_1 - a_0 = 0.8 - 1 = -0.2

已知在 a0=1a_0 = 1 時，最優解發生在 P0(−1,1,4)P_0(-1, 1, 4)。此時的拉格朗日乘子滿足分量方程：

∇f(P0)=λ(1)⋅∇g(P0)  ⟹  fy(P0)=λ(1)⋅gy(P0)\nabla f(P_0) = \lambda(1) \cdot \nabla g(P_0) \implies f_y(P_0) = \lambda(1) \cdot g_y(P_0)

我們計算約束函數 gg 關於 yy 的偏導函數：

gy(x,y,z)=∂∂y(z−x3−y4+3xy2)=−4y3+6xyg_y(x, y, z) = \frac{\partial}{\partial y} \left( z - x^3 - y^4 + 3xy^2 \right) = -4y^3 + 6xy

代入點 P0(−1,1,4)P_0(-1, 1, 4)：

gy(−1,1,4)=−4(1)3+6(−1)(1)=−4−6=−10g_y(-1, 1, 4) = -4(1)^3 + 6(-1)(1) = -4 - 6 = -10

利用已知條件 fy(−1,1,4)=20f_y(-1, 1, 4) = 20：

20=λ(1)⋅(−10)  ⟹  λ(1)=−220 = \lambda(1) \cdot (-10) \implies \lambda(1) = -2

根據 (a) 小題的敏感度公式，最大值對限制常數 aa 的導數為 λ(a)\lambda(a)。利用線性近似（全微分關係）：

Δfmax⁡≈dfmax⁡da∣a=1⋅Δa=λ(1)⋅Δa\Delta f_{\max} \approx \left. \frac{\mathrm{d}f_{\max}}{\mathrm{d}a} \right|_{a=1} \cdot \Delta a = \lambda(1) \cdot \Delta a

代入數值：

Δfmax⁡≈(−2)⋅(−0.2)=0.4\Delta f_{\max} \approx (-2) \cdot (-0.2) = 0.4

因此，當約束面改變時，最大值估計會增加約 0.40.4。

結論：

  • (a) 證明如上。
  • (b) 最大值變化量估計為 +0.4+0.4。