這是一道設計極佳的變限積分綜合分析題。

(a) 證明 $f(x)$ 單調遞增

• 根據微積分基本定理，求導得 $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^5}}$。
• 對於 $x \ge 1$，一階導數 $f'(x)$ 顯然恆正，因此 $f(x)$ 嚴格遞增。

(b) 估計 $f(x) < 2/3$ 與 $f(4) > 1/3$

• 對於上限 $2/3$：使用放大法。因為 $\sqrt{1+t^5} > \sqrt{t^5} = t^{5/2}$，所以將被積函數放大為 $t^{-5/2}$，積分後取極限即可。
• 對於下限 $f(4) > 1/3$：使用縮小法。對於 $1 \le t \le 4$，有 $1 + t^5 \le t^4 + t^5 = t^4(1+t) \le 5t^4$。因此被積函數可縮小為 $\frac{1}{\sqrt{5} t^2}$，積分求值後再與 $1/3$ 比較。

(c) 求反函數 $g(u)$ 的一、二階導數

• $g(u)$ 是 $f(x)$ 在特定區間上的反函數，即 $f(g(u)) = u$。
• 兩邊對 $u$ 求導： $f'(g(u)) \cdot g'(u) = 1 \implies g'(u) = \frac{1}{f'(g(u))} = \sqrt{1 + g(u)^5}$。
• 再對 $u$ 求導一次： $g''(u) = \frac{1}{2\sqrt{1+g(u)^5}} \cdot 5g(u)^4 \cdot g'(u)$，將 $g'(u)$ 代入消去根式。

(d) 證明 $h(u) = e^u - g(u)$ 在區間內無局部極小值

• 我們計算 $h'(u) = e^u - g'(u) = e^u - \sqrt{1 + g(u)^5}$。
• 我們希望證明在 $0 < u < f(4)$ 上，恆有 $h'(u) < 0$（即函數嚴格遞減，無內部極值點）。
• 引入變數代換：令 $u = f(x)$，其中 $1 < x < 4$。
• $h'(u) < 0 \iff e^{f(x)} < \sqrt{1+x^5} \iff f(x) < \frac{1}{2}\ln(1+x^5)$。
• 定義輔助函數 $T(x) = f(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^5)$，證明其在 $[1, 4]$ 上的導數 $T'(x) < 0$，且 $T(1) < 0$。

(a) 證明 $f(x) < f(y)$ 只要 $1 \le x < y$

根據微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），變限積分函數 $f(x)$ 關於 $x$ 的導數為：

對於所有 $x \ge 1$，顯然有 $1 + x^5 \ge 2 > 0$，故根號項為正實數，導函數恆滿足：

因為一階導數在區間 $[1, \infty)$ 上恆大於零，說明 $f(x)$ 在此區間內為嚴格單調遞增函數。 因此，當 $1 \le x < y$ 時，恆有 $f(x) < f(y)$。

(b) 證明 $f(x) < \frac{2}{3}$ 且 $f(4) > \frac{1}{3}$

1. 證明 $f(x) < \frac{2}{3}$： 對於所有 $t \ge 1$，顯然有 $1 + t^5 > t^5$。兩邊開根號並取倒數：

   $$\frac{1}{\sqrt{1+t^5}} < \frac{1}{\sqrt{t^5}} = t^{-5/2}$$

   因此，對於任何 $x \ge 1$：

   $$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{1+t^5}} \,\mathrm{d}t < \int_{1}^{x} t^{-5/2} \,\mathrm{d}t = \left[ -\frac{2}{3} t^{-3/2} \right]_{1}^{x} = \frac{2}{3} \left( 1 - x^{-3/2} \right)$$

   由於對於所有 $x \ge 1$， $x^{-3/2} > 0$（當 $x \to \infty$ 時極限為 $0$），故：

   $$f(x) < \frac{2}{3} \left( 1 - x^{-3/2} \right) < \frac{2}{3}$$

2. 證明 $f(4) > \frac{1}{3}$： 對於所有 $1 \le t \le 4$，我們可以將根式項放大以縮小積分值。利用 $1 \le t^4$：

   $$1 + t^5 \le t^4 + t^5 = t^4(1 + t)$$

   再由於 $t \le 4 \implies 1 + t \le 5$，故有：

   $$1 + t^5 \le 5 t^4 \implies \sqrt{1 + t^5} \le \sqrt{5} t^2 \implies \frac{1}{\sqrt{1 + t^5}} \ge \frac{1}{\sqrt{5}} t^{-2}$$

   對此不等式在 $[1, 4]$ 進行定積分：

   $$f(4) = \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{1+t^5}} \,\mathrm{d}t \ge \frac{1}{\sqrt{5}} \int_{1}^{4} t^{-2} \,\mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ -\frac{1}{t} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4\sqrt{5}}$$

   我們將 $\frac{3}{4\sqrt{5}}$ 與 $\frac{1}{3}$ 進行大小比較：

   $$\frac{3}{4\sqrt{5}} > \frac{1}{3} \iff 9 > 4\sqrt{5} \iff 81 > 16 \times 5 = 80$$

   由於 $81 > 80$ 顯然成立，所以：

   $$f(4) \ge \frac{3}{4\sqrt{5}} > \frac{1}{3}$$

(c) 求解 $g'(u)$ 與 $g''(u)$

已知 $f(g(u)) = u$。對兩邊關於 $u$ 求導：

代入 (a) 小題求得的 $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^5}}$：

接著，對 $g'(u) = \left( 1 + g(u)^5 \right)^{1/2}$ 再次關於 $u$ 求導（套用連鎖律）：

將先前已求得的 $g'(u) = \sqrt{1 + g(u)^5}$ 代入式中：

(d) 證明 $h(u) = e^u - g(u)$ 在 $u \in (0, f(4))$ 內無局部極小值

我們首先對 $h(u)$ 求關於 $u$ 的一階導數：

為了分析其正負性，我們引入變換。令 $u = f(x)$，其中 $x = g(u)$。 由於 $0 < u < f(4)$ 且 $f(1) = 0$，這對應自變數 $x \in (1, 4)$。 因此，一階導數正負性等價於比較 $e^{f(x)}$ 與 $\sqrt{1 + x^5}$：

我們定義輔助函數：

對其求導：

由於 $x \ge 1$：

• $2\sqrt{1+x^5} \le 2\sqrt{x^5 + x^5} = 2\sqrt{2} x^{5/2}$
• 故分子滿足： $$2\sqrt{1+x^5} - 5x^4 \le 2\sqrt{2}x^{5/2} - 5x^4 = x^{5/2} \left( 2\sqrt{2} - 5x^{3/2} \right)$$ 因為當 $x \ge 1$ 時， $x^{3/2} \ge 1$，所以： $$2\sqrt{2} - 5x^{3/2} \le 2\sqrt{2} - 5 \approx 2.828 - 5 < 0$$ 由此可知，對於所有 $x \in [1, 4]$，分子恆小於零，即： $$T'(x) < 0$$

這表示輔助函數 $T(x)$ 在區間 $[1, 4]$ 上是嚴格單調遞減的。 我們計算區間左端點的函數值：

由於 $T(1) < 0$ 且 $T(x)$ 嚴格單調遞減，所以在開區間 $x \in (1, 4)$ 內必有：

這說明對於所有 $u \in (0, f(4))$，恆有：

一階導數 $h'(u)$ 在整個開區間內恆小於零，說明函數 $h(u)$ 在此區間內為嚴格單調遞減函數。 嚴格單調函數在開區間內不可能存在局部極值點（一階導數不可能為零或變號）。 因此， $h(u)$ 在 $u \in (0, f(4))$ 內沒有局部極小值。