1. 第一步：求曲線在 $x=\frac{\pi}{4}$ 處的一、二階導數：
   • 曲線為 $y = 1 - x + \tan x$。
   • $y' = -1 + \sec^2 x$。
   • $y'' = 2\sec^2 x \tan x$。
   • 代入 $x=\frac{\pi}{4}$，求得 $y$ 座標、 $y'$ 與 $y''$。
2. 第二步：建立密切圓的方程式：
   • 設密切圓為 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。
   • 對圓方程式兩側關於 $x$ 連續求導兩次，得到含有 $y'$ 與 $y''$ 的關係式：
     • 一次求導： $2(x-a) + 2(y-b)y' = 0 \implies (x-a) + (y-b)y' = 0$。
     • 二次求導： $1 + (y')^2 + (y-b)y'' = 0$。
3. 第三步：代入數值聯立解出圓心與半徑：
   • 將 $x_0, y_0, y', y''$ 代入上述兩式，即可依序解出 $y-b$、 $x-a$，進而得到圓心座標 $(a,b)$，最後由 $r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$ 算得半徑 $r$。

(a) 求曲線在 $x=\frac{\pi}{4}$ 處的一、二階導數

給定曲線方程式為：

對其求關於 $x$ 的一階與二階導數：

代入 $x = \frac{\pi}{4}$：

• 函數值 $y$ 座標為： $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 - \frac{\pi}{4} + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 - \frac{\pi}{4}$$
• 一階導數值為： $$\left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = -1 + \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 + (\sqrt{2})^2 = 1$$
• 二階導數值為： $$\left. \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = 2\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2(2)(1) = 4$$

(b) 求解密切圓的圓心與半徑

設密切圓 $\mathcal{O}$ 的方程式為：

其中 $(a, b)$ 為圓心， $r$ 為半徑。

我們將式 (1) 關於 $x$ 進行隱函數求導（注意 $y$ 是 $x$ 的函數）：

對式 (2) 再次關於 $x$ 求導：

根據密切圓條件，在切點 $P\left(\frac{\pi}{4},\, 2 - \frac{\pi}{4}\right)$ 處，密切圓的 $y'$ 與 $y''$ 需與曲線相等。代入 $x = \frac{\pi}{4}$， $y = 2 - \frac{\pi}{4}$， $y' = 1$， $y'' = 4$：

1. 代入式 (3) 求解 $b$：

   $$1 + (1)^2 + (y - b)(4) = 0 \implies 2 + 4(y - b) = 0 \implies y - b = -\frac{1}{2}$$

   將 $y = 2 - \frac{\pi}{4}$ 代入：

   $$b = y + \frac{1}{2} = 2 - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{10 - \pi}{4}$$

2. 代入式 (2) 求解 $a$：

   $$(x - a) + (y - b)y' = 0 \implies (x - a) + \left(-\frac{1}{2}\right)(1) = 0 \implies x - a = \frac{1}{2}$$

   將 $x = \frac{\pi}{4}$ 代入：

   $$a = x - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 2}{4}$$

3. 求解半徑 $r$： 由式 (1)：

   $$r^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

   由於 $r > 0$，故：

   $$r = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

所以，密切圓的圓心為 $\displaystyle \left( \frac{\pi - 2}{4},\, \frac{10 - \pi}{4} \right)$，半徑為 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。

1. 曲率與密切圓半徑： 平面曲線的曲率公式為 $\kappa = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}$。 密切圓半徑 $r$ 為曲率的倒數，即 $r = \frac{1}{\kappa} = \frac{(1+y'^2)^{3/2}}{|y''|}$。
2. 圓心的求法： 圓心 $(a, b)$ 位於法線上，且朝向曲線凹側。
   • 切線斜率為 $y' = 1 \implies$ 法線斜率為 $-1$。
   • 法向單位向量（指向凹側，即 $y'' > 0$ 朝上）： $\mathbf{N} = \frac{1}{\sqrt{1+y'^2}} \langle -y',\, 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle -1,\, 1 \rangle$。
   • 圓心向量式： $\langle a, b \rangle = \langle x, y \rangle + r \mathbf{N}$。

在切點 $P\left(\frac{\pi}{4},\, 2-\frac{\pi}{4}\right)$ 處，已求得 $y' = 1, y'' = 4 > 0$。

1. 計算密切圓半徑（曲率半徑）：

   $$r = \frac{\left(1 + y'^2\right)^{3/2}}{|y''|} = \frac{\left(1 + 1^2\right)^{3/2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

2. 計算密切圓圓心： 由於 $y'' = 4 > 0$，曲線在該點向上凹，密切圓圓心應在曲線上方（即法線方向朝上）。 切點處的切向量為 $\mathbf{T} = \langle 1,\, y' \rangle = \langle 1,\, 1 \rangle$。 其對應的朝上法向單位向量為：

   $$\mathbf{N} = \frac{\langle -y',\, 1 \rangle}{\sqrt{1 + y'^2}} = \frac{\langle -1,\, 1 \rangle}{\sqrt{2}} = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

   因此，圓心座標 $(a, b)$ 為：

   $$\begin{align*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =&\, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + r \mathbf{N} \\[3mm] =&\, \begin{pmatrix} \frac{\pi}{4} \\ 2 - \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} + \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[3mm] =&\, \begin{pmatrix} \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \\ 2 - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\pi - 2}{4} \\ \frac{10 - \pi}{4} \end{pmatrix} \end{align*}$$

結論：

• 一、二階導數分別為 $1$ 與 $4$。
• 密切圓圓心為 $\displaystyle \left( \frac{\pi - 2}{4},\, \frac{10 - \pi}{4} \right)$，半徑為 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。