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113 台大微積分(B) 第 9 題

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113學年度 · 113微積分(B) · 第 9 題

題目

Problem

4. Let F(x,y,z)=xzi+yzj+(−z+ey2)k\mathbf{F}(x, y, z) = xz \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + (-z + e y^2) \mathbf{k} and SS be the part of the cylinder x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 between planes z=0z = 0 and z=2+xz = 2 + x with outward orientation.

A parametrization of the surface SS is (9)‾\underline{\quad(9)\quad} .

解答

解法一

思路

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  1. 本題要求寫出空間曲面 SS 的參數化表示式。曲面 SS 是圓柱面 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 的一部分，其高度夾在 z=0z = 0 與 z=2+xz = 2 + x 之間。
  2. 第一步：選取圓柱座標進行參數化：
    • 圓柱半徑為 11。因此，我們令 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx = \cos\theta, y = \sin\theta。
    • 此處極角 θ\theta 的範圍為繞行一整圈，即 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi。
  3. 第二步：確定高度 zz 的參數範圍：
    • zz 夾在平面 z=0z = 0 與 z=2+xz = 2 + x 之間，將 x=cos⁡θx = \cos\theta 代入上限，可得： 0≤z≤2+cos⁡θ0 \le z \le 2 + \cos\theta
  4. 第三步：寫出向量參數方程式：
    • 參數向量表示為 r(θ,z)=⟨cos⁡θ,sin⁡θ,z⟩\mathbf{r}(\theta, z) = \langle \cos\theta, \sin\theta, z \rangle（或用基底向量表示為 cos⁡θi+sin⁡θj+zk\cos\theta \mathbf{i} + \sin\theta \mathbf{j} + z \mathbf{k}），並標明參數的範圍。

答題過程

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曲面 SS 位於圓柱面 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 上。我們採用圓柱座標進行參數化： 令：

x=cos⁡θ,y=sin⁡θx = \cos\theta, \quad y = \sin\theta

其中，為了覆蓋整個圓柱面，極角 θ\theta 的範圍為：

0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi

空間中第三個分量 zz 即為其自身參數，其高度夾在 z=0z = 0 與 z=2+xz = 2 + x 之間。我們將 x=cos⁡θx = \cos\theta 代入上限方程式：

0≤z≤2+cos⁡θ0 \le z \le 2 + \cos\theta

因此，曲面 SS 可參數化表示為向量函數：

r(θ,z)=cos⁡θi+sin⁡θj+zk\mathbf{r}(\theta, z) = \cos\theta \mathbf{i} + \sin\theta \mathbf{j} + z \mathbf{k}

其參數限制範圍為：

0≤θ≤2π,0≤z≤2+cos⁡θ0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le z \le 2 + \cos\theta

結論： (9) 填入 r(θ,z)=cos⁡θi+sin⁡θj+zk(0≤θ≤2π, 0≤z≤2+cos⁡θ)\mathbf{r}(\theta, z) = \cos\theta \mathbf{i} + \sin\theta \mathbf{j} + z \mathbf{k} \quad (0 \le \theta \le 2\pi, \ 0 \le z \le 2+\cos\theta)。