1. 本題要求在第一象限區域 $D$ 上計算二重積分 $\iint_D \frac{y}{x} \,\mathrm{d}A$。
2. 積分區域由以下四條曲線圍成：
   • $x^2+y^2 = \frac{1}{4}$：以原點為圓心、半徑為 $\frac{1}{2}$ 的圓。
   • $x^2+y^2 = x \implies \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$：以 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 為圓心、半徑為 $\frac{1}{2}$ 的圓。
   • $y = x$：斜率為 $1$ 的直線。
   • $y = 0$：$x$ 軸。
3. 第一步：將邊界方程式轉換為極座標：
   • $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
   • 直線 $y=0 \implies \theta = 0$，直線 $y=x \implies \theta = \frac{\pi}{4}$。
   • 圓一 $x^2+y^2 = \frac{1}{4} \implies r = \frac{1}{2}$。
   • 圓二 $x^2+y^2 = x \implies r^2 = r\cos\theta \implies r = \cos\theta$。
4. 第二步：分析極角與極徑範圍：
   • 在 $\theta \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 範圍內，我們有 $\cos\theta \ge \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 > \frac{1}{2}$。
   • 因此，兩圓在第一象限對應射線的截段始終是由內側 $r = \frac{1}{2}$ 到外側 $r = \cos\theta$。
   • 積分區域範圍： $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ 且 $\frac{1}{2} \le r \le \cos\theta$。
5. 第三步：進行累次積分計算：
   • 被積函數 $\frac{y}{x} = \frac{r\sin\theta}{r\cos\theta} = \tan\theta$。
   • 積分式： $I = \int_{0}^{\pi/4} \int_{1/2}^{\cos\theta} \tan\theta \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
   • 依序對 $r$ 與對 $\theta$ 積分即可。

第一步：轉換邊界至極座標並分析區域

我們引入極座標變換：

將四條圍成邊界的方程式轉換為極座標形式：

1. 直線 $y = 0 \implies \theta = 0$。
2. 直線 $y = x \implies \theta = \frac{\pi}{4}$。
3. 圓一 $x^2 + y^2 = \frac{1}{4} \implies r = \frac{1}{2}$。
4. 圓二 $x^2 + y^2 = x \implies r^2 = r\cos\theta \implies r = \cos\theta$。

在第一象限的角度範圍 $\theta \in \left[0,\, \frac{\pi}{4}\right]$ 內，由於：

因此，邊界圓 $r = \cos\theta$ 始終位於圓 $r = \frac{1}{2}$ 的外側。極座標的積分範圍為：

第二步：將二重積分代入並求解

將被積函數 $\frac{y}{x} = \tan\theta$ 以及面積微元代入：

將被積式展開，利用 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$：

對兩項分別求定積分：

• 第一項： $\displaystyle \int \sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\sin^2\theta$。
• 第二項： $\displaystyle \int \tan\theta\,\mathrm{d}\theta = \ln|\sec\theta| = -\ln|\cos\theta|$。

代入上下限 $[0, \frac{\pi}{4}]$：

結論： (8) 填入 $\displaystyle \frac{2 - \ln 2}{16}$。