題目

Problem

3. Compute the integrals.

\int \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 4x}} \,\mathrm{d}x = \underline{\quad(6)\quad} \,.

解答

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本題要求計算不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{4x^2 + 4x}} \,\mathrm{d}x$ 。
第一步：配方法化簡根式：我們將根號內的二次多項式配方： $4x^2 + 4x = (2x + 1)^2 - 1$
第二步：三角代換法或反雙曲函數公式：
- 令 $2x + 1 = \sec\theta \implies 2\,\mathrm{d}x = \sec\theta \tan\theta \,\mathrm{d}\theta \implies \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sec\theta \tan\theta \,\mathrm{d}\theta$ 。
- 根式項： $\sqrt{(2x+1)^2-1} = \sqrt{\sec^2\theta-1} = \tan\theta$ （假設 $\tan\theta \ge 0$ ）。
- 代入積分式： $\int \frac{\frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta}{\tan\theta} \,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int \sec\theta \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$
第三步：將 $\theta$ 換回 $x$ ：
- $\sec\theta = 2x + 1$ 。
- $\tan\theta = \sqrt{\sec^2\theta-1} = \sqrt{4x^2+4x}$ 。
- 代入對數公式中即可。

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我們首先對被積函數分母的二次項進行配方：

4x^2 + 4x = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1 - 1 = (2x + 1)^2 - 1

因此原積分變為：

I = \int \frac{1}{\sqrt{(2x+1)^2 - 1}} \,\mathrm{d}x

使用三角代換法，令：

2x + 1 = \sec\theta \implies 2\,\mathrm{d}x = \sec\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta \implies \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta

同時，分母根式化簡為：

\sqrt{(2x+1)^2 - 1} = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \sqrt{\tan^2\theta} = \tan\theta \quad (\text{假設 } \tan\theta \ge 0)

代入積分式：

\begin{align*} I =&\, \int \frac{1}{\tan\theta} \cdot \left( \frac{1}{2}\sec\theta\tan\theta\,\mathrm{d}\theta \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int \sec\theta \,\mathrm{d}theta \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C \end{align*}

現在將變數 $\theta$ 換回原變數 $x$ ：

將其代回對數解中：

I = \frac{1}{2} \ln \left| 2x + 1 + \sqrt{4x^2 + 4x} \right| + C

結論： (6) 填入 $\displaystyle \frac{1}{2} \ln \left| 2x + 1 + \sqrt{4x^2 + 4x} \right| + C$ 。