1. 本題要求三維空間中曲面 $z = g(x, y) = 2y^x - x - y + 1$ 在給定點 $(0, 2, 1)$ 處的切平面方程式。
2. 曲面 $z = g(x,y)$ 的切平面方程式公式為： $z - z_0 = g_x(x_0, y_0)(x - x_0) + g_y(x_0, y_0)(y - y_0)$ 其中 $(x_0, y_0, z_0) = (0, 2, 1)$。
3. 第一步：求偏導函數：
   • $g_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(2y^x - x - y + 1) = 2y^x \ln y - 1$。
   • $g_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(2y^x - x - y + 1) = 2x y^{x-1} - 1$。
4. 第二步：代入 $(0,2)$ 求斜率（偏導值）：
   • $g_x(0, 2) = 2(2^0) \ln 2 - 1 = 2\ln 2 - 1$。
   • $g_y(0, 2) = 2(0)(2^{-1}) - 1 = -1$。
5. 第三步：寫出切平面方程式並整理：
   • 代入點斜式： $z - 1 = (2\ln 2 - 1)(x - 0) - 1(y - 2)$。
   • 將其整理為一般平面方程式形式 $Ax + By + Cz + D = 0$。

曲面方程式給定為：

切平面通過的切點為 $(x_0, y_0, z_0) = (0, 2, 1)$。 我們計算函數 $g(x, y)$ 在該點的偏導數（斜率）：

1. 關於 $x$ 的偏導數：

   $$g_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2e^{x\ln y} - x - y + 1 \right) = 2y^x \ln y - 1$$

   代入 $(0, 2)$：

   $$g_x(0, 2) = 2(2^0) \ln 2 - 1 = 2\ln 2 - 1$$

2. 關於 $y$ 的偏導數：

   $$g_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2y^x - x - y + 1 \right) = 2x y^{x-1} - 1$$

   代入 $(0, 2)$：

   $$g_y(0, 2) = 2(0)(2^{-1}) - 1 = -1$$

使用曲面切平面方程式的公式：

將 $x_0 = 0, y_0 = 2, z_0 = 1$ 以及偏導值代入：

展開並移項整理：

結論： (5) 填入 $(2\ln 2 - 1)x - y - z + 3 = 0$（或寫作 $z - 1 = (2\ln 2 - 1)x - (y - 2)$）。