1. 本題給出隱函數方程式 $2y^x = x + y$，要求其在點 $(0, 2)$ 處的一階導數 $f'(0) = \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(0,2)}$。
2. 為了對左式 $2y^x$ 求導，我們將其改寫成以自然常數 $e$ 為底的指數形式： $2y^x = 2e^{x \ln y}$
3. 第一步：對方程式兩邊關於 $x$ 求導：
   • 左側求導（利用連鎖律與乘積律，注意 $y$ 是 $x$ 的函數）： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( 2e^{x \ln y} \right) = 2e^{x\ln y} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x \ln y) = 2y^x \left( 1 \cdot \ln y + x \cdot \frac{y'}{y} \right)$
   • 右側求導： $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x + y) = 1 + y'$
   • 兩側相等得到： $2y^x \left( \ln y + \frac{x y'}{y} \right) = 1 + y'$
4. 第二步：代入已知點 $(x, y) = (0, 2)$ 的值：
   • 代入 $x = 0, y = 2$： $2(2^0) \left( \ln 2 + \frac{0 \cdot y'}{2} \right) = 1 + y'$ $2(1) (\ln 2 + 0) = 1 + y' \implies 2\ln 2 = 1 + y'$
5. 第三步：解出 $y' = f'(0)$。

給定隱函數方程式：

我們將左邊項改寫以利求導：

兩側同時關於 $x$ 求導，注意 $y$ 是 $x$ 的函數（即 $y'$ 表示 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$）：

套用乘積求導法則與連鎖律：

我們要求在點 $(x, y) = (0, 2)$ 處的導數值 $f'(0)$。將 $x = 0, y = 2$ 代入方程式 (1)：

由於 $2^0 = 1$：

解出 $y'$：

因此：

1. 根據多元微積分的隱函數定理，若隱函數方程式寫為 $F(x, y) = 0$，則其一階導數為： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x(x, y)}{F_y(x, y)}$
2. 第一步：定義二元函數 $F(x,y)$： $F(x, y) = 2y^x - x - y = 2e^{x\ln y} - x - y$
3. 第二步：求偏導數 $F_x$ 與 $F_y$：
   • $F_x = \frac{\partial}{\partial x} (2e^{x\ln y} - x - y) = 2e^{x\ln y}\ln y - 1 = 2y^x \ln y - 1$。
   • $F_y = \frac{\partial}{\partial y} (2y^x - x - y) = 2x y^{x-1} - 1$。
4. 第三步：代入 $(0,2)$ 計算偏導數值：
   • $F_x(0, 2) = 2(2^0)\ln 2 - 1 = 2\ln 2 - 1$。
   • $F_y(0, 2) = 2(0)(2^{-1}) - 1 = -1$。
5. 第四步：代入公式求出 $y'$。

我們定義二元函數：

對其分別求關於 $x$ 與 $y$ 的偏導數：

1. 關於 $x$ 的偏導數 $F_x$： $$F_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( 2e^{x\ln y} - x - y \right) = 2e^{x\ln y} \ln y - 1 = 2y^x \ln y - 1$$
2. 關於 $y$ 的偏導數 $F_y$： $$F_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2y^x - x - y \right) = 2x y^{x-1} - 1$$

現在代入點 $(x, y) = (0, 2)$ 處的數值：

• $F_x(0, 2) = 2(2^0) \ln 2 - 1 = 2\ln 2 - 1$
• $F_y(0, 2) = 2(0)(2^{-1}) - 1 = -1$

根據隱函數偏微分公式：

結論： (4) 填入 $2\ln 2 - 1$。