1. 本題要求計算當 $x \to \infty$ 時的極限。觀察被積式，含有項 $(1 + 3/x)^e$。
2. 當 $x \to \infty$ 時， $u = \frac{1}{x} \to 0$。因此，我們可以使用上一題（第 2 題）求出的泰勒展開式來極速求解。
3. 第一步：進行變數代換： 令 $u = \frac{1}{x}$。當 $x \to \infty$ 時， $u \to 0^+$。 原式可改寫為： $\lim_{u \to 0^+} \left( \frac{1}{u^2} (1 + 3u)^e - \frac{1}{u^2} - \frac{3e}{u} \right) = \lim_{u \to 0^+} \frac{(1+3u)^e - 1 - 3eu}{u^2}$
4. 第二步：套用泰勒展開式： 我們知道由廣義二項式定理， $(1+3u)^e$ 在 $u \to 0$ 時展開為： $(1+3u)^e = 1 + 3eu + \frac{9e(e-1)}{2}u^2 + o(u^2)$
5. 第三步：代入化簡求極限： 將展開式代入分式中，常數項 $1$ 與一次項 $3eu$ 被消去，留下二次項與更高階項： $\lim_{u \to 0^+} \frac{\frac{9e(e-1)}{2}u^2 + o(u^2)}{u^2} = \frac{9e(e-1)}{2}$

我們引入變數變換，令 $u = \frac{1}{x}$。當 $x \to \infty$ 時， $u \to 0^+$。 原極限式可重寫為：

我們將其通分，寫成單一分式：

根據第 2 題中 $(1 + 3u)^e$ 在 $u = 0$ 處的泰勒展開式：

將此展開式代回式 (1) 的分子：

結論： (3) 填入 $\displaystyle \frac{9e(e-1)}{2}$（或寫作 $\frac{9e^2 - 9e}{2}$）。