1. 本題要求函數 $g(x) = (1+3x)^e$ 在 $x=0$ 處的三階泰勒多項式（即三階麥克勞林多項式 $T_3(x)$）。
2. 第一步：寫出通用麥克勞林展開式公式： $T_3(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2!}x^2 + \frac{g'''(0)}{3!}x^3$
3. 第二步：利用廣義二項式定理 (Generalized Binomial Theorem) 展開（最速法）： 我們知道對於任何實數 $\alpha$： $(1+u)^\alpha = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}u^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}u^3 + o(u^3)$ 在此題中，令 $u = 3x$， $\alpha = e$。
   • 一階項： $e(3x) = 3ex$。
   • 二階項： $\frac{e(e-1)}{2}(3x)^2 = \frac{9e(e-1)}{2}x^2$。
   • 三階項： $\frac{e(e-1)(e-2)}{6}(3x)^3 = \frac{27e(e-1)(e-2)}{6}x^3 = \frac{9e(e-1)(e-2)}{2}x^3$。
4. 將各項相加即為所求。

我們使用廣義二項式定理展開式。對於實數 $\alpha$ 與自變數 $u$，在 $u \to 0$ 時有：

我們令 $u = 3x$， $\alpha = e$。代入展開式中：

1. 常數項： $$1$$
2. 一次項： $$e \cdot (3x) = 3e x$$
3. 二次項： $$\frac{e(e-1)}{2} \cdot (3x)^2 = \frac{e(e-1)}{2} \cdot 9x^2 = \frac{9e(e-1)}{2} x^2$$
4. 三次項： $$\frac{e(e-1)(e-2)}{6} \cdot (3x)^3 = \frac{e(e-1)(e-2)}{6} \cdot 27x^3 = \frac{9e(e-1)(e-2)}{2} x^3$$

將以上各項相加，即得到該函數在 $x = 0$ 處的三階泰勒多項式 $T_3(x)$：

（亦可展開寫成： $1 + 3ex + \left(\frac{9e^2-9e}{2}\right)x^2 + \left(\frac{9e^3-27e^2+18e}{2}\right)x^3$）

結論： (2) 填入 $1 + 3e x + \frac{9e(e-1)}{2} x^2 + \frac{9e(e-1)(e-2)}{2} x^3$。