本題是一道結合多元函數拉格朗日乘子法與全微分微擾線性近似的綜合分析題。

(a) 求 $f(x,y,z)=z$ 在兩約束交線上的最大值

• 目標函數為 $f(x,y,z) = z$，約束條件為 $g(x,y,z) = x+y+z = 1$，以及 $h(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 = 3$。
• 根據拉格朗日乘子法，建立方程式： $\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h \implies \langle 0, 0, 1 \rangle = \lambda \langle 1, 1, 1 \rangle + \mu \langle 2x, 2y, 2z \rangle$
• 解此方程組可得 $x = y$。代回約束條件求得兩組候選解，比較 $z$ 分量大小，最大者即為最大值。

(b) 證明線性近似關係式 $\Delta f \approx \mu \cdot \epsilon$

• 根據多元函數的線性近似（一階泰勒展開式）： $f(x_1, y_1, z_1) - f(x_0, y_0, z_0) \approx \nabla f(x_0, y_0, z_0) \cdot \langle \Delta x, \Delta y, \Delta z \rangle$
• 代入拉格朗日乘子關係式 $\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h$，並利用兩個約束條件的微擾差值進行化簡。

(c) 估計在微擾約束 $x^2+y^2+z^2 = 3.02$ 下的新最大值

• 對比 (a) 與 (b) 小題，此時常數 $c = 1$ 未變（$\Delta c = 0$），而常數 $k$ 從 $3 \to 3.02$（微擾 $\epsilon = 0.02$）。
• 我們首先計算出 (a) 小題極值點處的乘子 $\mu$ 值。
• 代入 (b) 小題證得的公式 $\Delta f \approx \mu \epsilon$ 進行線性估算。

(a) 計算 $f(x, y, z) = z$ 的最大值

我們設定約束方程式為：

建立拉格朗日乘子關係式 $\nabla f = \lambda \nabla g + \mu \nabla h$：

這給出分量方程組：

由式 (1) 與 (2) 可得 $\lambda = -2\mu x = -2\mu y$。 若 $\mu = 0$，則會導致 $\lambda = 0$，這與式 (3) 矛盾（得 $1 = 0$）。因此 $\mu \neq 0$，這直接說明：

我們將式 (4) 代回兩個約束條件中：

• 由 $g = 1$ 得： $2y + z = 1 \implies z = 1 - 2y$。
• 由 $h = 3$ 得： $2y^2 + z^2 = 3$。

將 $z$ 代入：

解得：

我們對應求出兩個候選點：

1. 點 $P_1(1, 1, -1)$： 此時， $z = -1$。
2. 點 $P_2\left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)$： 此時， $z = \frac{5}{3}$。

比較兩點的 $z$ 值大小，最大值為：

(b) 證明線性近似公式

令 $\Delta x = x_1 - x_0, \Delta y = y_1 - y_0, \Delta z = z_1 - z_0$。 根據多元函數的一階線性近似（全微分關係）：

另一方面，對約束函數 $g$ 與 $h$ 在 $(x_0, y_0, z_0)$ 處作一階線性近似：

• 對於 $g$： $$g(x_1, y_1, z_1) - g(x_0, y_0, z_0) \approx \nabla g(x_0, y_0, z_0) \cdot \langle \Delta x,\, \Delta y,\, \Delta z \rangle$$ 由於 $g(x_1, y_1, z_1) = c$ 且 $g(x_0, y_0, z_0) = c$，故： $$\nabla g(x_0, y_0, z_0) \cdot \langle \Delta x,\, \Delta y,\, \Delta z \rangle \approx c - c = 0 \quad \text{--- (6)}$$
• 對於 $h$： $$h(x_1, y_1, z_1) - h(x_0, y_0, z_0) \approx \nabla h(x_0, y_0, z_0) \cdot \langle \Delta x,\, \Delta y,\, \Delta z \rangle$$ 由於 $h(x_1, y_1, z_1) = k + \epsilon$ 且 $h(x_0, y_0, z_0) = k$，故： $$\nabla h(x_0, y_0, z_0) \cdot \langle \Delta x,\, \Delta y,\, \Delta z \rangle \approx (k + \epsilon) - k = \epsilon \quad \text{--- (7)}$$

將式 (6) 與 (7) 代回式 (5) 中：

公式得證。

(c) 估計微擾後的最大值

此時，約束為 $g = 1$ 與 $h = 3.02$。這對應了 (b) 小題中的條件：

我們需要求出 (a) 小題最大值點 $P_2\left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}\right)$ 處對應的拉格朗日乘子 $\mu$。 將 $x_0 = -\frac{1}{3}, z_0 = \frac{5}{3}$ 代回 (a) 小題的方程組中：

1. 由式 (1) 得： $\lambda = -2\mu x_0 = \frac{2}{3}\mu$。
2. 將其代入式 (3)： $$1 = \lambda + 2\mu z_0 \implies 1 = \frac{2}{3}\mu + 2\mu\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{12}{3}\mu = 4\mu$$ 由此解得乘子： $$\mu = \frac{1}{4}$$

根據 (b) 小題已證的線性近似公式：

因此，新的最大值估計為：

結論：

• (a) 最大值為 $\displaystyle \frac{5}{3}$。
• (b) 證明如上。
• (c) 新最大值估計為 $\displaystyle \frac{1003}{600}$（約 $1.6717$）。