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113 台大微積分(B) 第 10 題

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113學年度 · 113微積分(B) · 第 10 題

題目

Problem

4. 續題：

The flux of F\mathbf{F} through SS is (10)‾\underline{\quad(10)\quad} .

解答

解法一

思路

展開
  1. 本題要求計算向量場 F=⟨xz,yz,−z+ey2⟩\mathbf{F} = \langle xz, yz, -z+ey^2 \rangle 穿過前一題定義之曲面 SS 的面積分（通量 Flux）。
  2. 第一步：建立通量公式： Flux=∬SF⋅dS=∬DF(r(θ,z))⋅(∂r∂z×∂r∂θ)dzdθ\text{Flux} = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{D} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta, z)) \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta
    • 參數式為 r(θ,z)=⟨cos⁡θ,sin⁡θ,z⟩\mathbf{r}(\theta, z) = \langle \cos\theta, \sin\theta, z \rangle。
    • 計算切向量： ∂r∂z=⟨0,0,1⟩,∂r∂θ=⟨−sin⁡θ,cos⁡θ,0⟩\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \langle 0, 0, 1 \rangle, \quad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \langle -\sin\theta, \cos\theta, 0 \rangle
    • 計算向外法向量微元 n^ dS\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S： ∂r∂z×∂r∂θ=det⁡(ijk001−sin⁡θcos⁡θ0)=−cos⁡θi−sin⁡θj— (這是向內的)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{pmatrix} = -\cos\theta \mathbf{i} - \sin\theta \mathbf{j} \quad \text{--- (這是向內的)} 為符合題目要求的外向朝向（outward orientation），我們取其相反數（或調整叉積順序）： dS=(∂r∂θ×∂r∂z)dzdθ=⟨cos⁡θ,sin⁡θ,0⟩dzdθ\mathrm{d}\mathbf{S} = \left( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta = \langle \cos\theta, \sin\theta, 0 \rangle \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta
  3. 第二步：將 F\mathbf{F} 與法向量作內積：
    • 將 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx=\cos\theta, y=\sin\theta 代入 F\mathbf{F}： F=⟨zcos⁡θ,zsin⁡θ,−z+esin⁡2θ⟩\mathbf{F} = \langle z\cos\theta, z\sin\theta, -z+e\sin^2\theta \rangle
    • 內積： F⋅dS=⟨zcos⁡θ,zsin⁡θ,−z+esin⁡2θ⟩⋅⟨cos⁡θ,sin⁡θ,0⟩dzdθ\mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \langle z\cos\theta, z\sin\theta, -z+e\sin^2\theta \rangle \cdot \langle \cos\theta, \sin\theta, 0 \rangle \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta =(zcos⁡2θ+zsin⁡2θ) dzdθ=z dzdθ= (z\cos^2\theta + z\sin^2\theta)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta = z\,\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta
  4. 第三步：進行二重積分： Flux=∫02π∫02+cos⁡θz dzdθ=12∫02π(2+cos⁡θ)2 dθ\text{Flux} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2+\cos\theta} z \,\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (2+\cos\theta)^2 \,\mathrm{d}\theta 展開並利用三角函數在對稱週期上的定積分快速求值。

答題過程

展開

第一步：求曲面的外向法向量微元

曲面 SS 的參數化表示為：

r(θ,z)=⟨cos⁡θ,sin⁡θ,z⟩\mathbf{r}(\theta, z) = \langle \cos\theta, \sin\theta, z \rangle

偏微分切向量為：

∂r∂θ=⟨−sin⁡θ,cos⁡θ,0⟩\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \langle -\sin\theta, \cos\theta, 0 \rangle ∂r∂z=⟨0,0,1⟩\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \langle 0, 0, 1 \rangle

曲面的法向量微元為（方向朝外）：

dS=(∂r∂θ×∂r∂z)dzdθ=∣ijk−sin⁡θcos⁡θ0001∣dzdθ=⟨cos⁡θ,sin⁡θ,0⟩dzdθ\mathrm{d}\mathbf{S} = \left( \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta = \langle \cos\theta, \sin\theta, 0 \rangle \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta

第二步：被積函數作內積

我們將參數 x=cos⁡θ,y=sin⁡θx = \cos\theta, y = \sin\theta 代入向量場 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z)：

F(r(θ,z))=⟨zcos⁡θ,sin⁡θz,−z+esin⁡2θ⟩\mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta, z)) = \langle z\cos\theta, \sin\theta z, -z + e\sin^2\theta \rangle

計算向量場與法向量微元的內積：

F⋅dS= ⟨zcos⁡θ,zsin⁡θ,−z+esin⁡2θ⟩⋅⟨cos⁡θ,sin⁡θ,0⟩dzdθ= (zcos⁡2θ+zsin⁡2θ+0)dzdθ= z(cos⁡2θ+sin⁡2θ)dzdθ= z dzdθ\begin{align*} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} =&\, \langle z\cos\theta, z\sin\theta, -z + e\sin^2\theta \rangle \cdot \langle \cos\theta, \sin\theta, 0 \rangle \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \\[2mm] =&\, \left( z\cos^2\theta + z\sin^2\theta + 0 \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \\[2mm] =&\, z \left( \cos^2\theta + \sin^2\theta \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \\[2mm] =&\, z \,\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \end{align*}

第三步：計算通量積分

根據參數的範圍限制，進行二重積分：

Flux= ∫02π∫02+cos⁡θz dzdθ= ∫02π[12z2]02+cos⁡θdθ= 12∫02π(2+cos⁡θ)2 dθ= 12∫02π(4+4cos⁡θ+cos⁡2θ)dθ\begin{align*} \text{Flux} =&\, \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2+\cos\theta} z \,\mathrm{d}z\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2} z^2 \right]_{0}^{2+\cos\theta} \mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (2 + \cos\theta)^2 \,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left( 4 + 4\cos\theta + \cos^2\theta \right) \mathrm{d}\theta \end{align*}

我們分別計算各項在週期 [0,2π][0, 2\pi] 上的定積分：

  1. ∫02π4 dθ=8π\displaystyle \int_{0}^{2\pi} 4 \,\mathrm{d}\theta = 8\pi。
  2. ∫02π4cos⁡θ dθ=0\displaystyle \int_{0}^{2\pi} 4\cos\theta \,\mathrm{d}\theta = 0。
  3. ∫02πcos⁡2θ dθ=∫02π1+cos⁡2θ2 dθ=π\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta = \pi。

代入結果：

Flux=12(8π+0+π)=9π2\text{Flux} = \frac{1}{2} \left( 8\pi + 0 + \pi \right) = \frac{9\pi}{2}

結論： (10) 填入 9π2\displaystyle \frac{9\pi}{2}。