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113 台大微積分(B) 第 1 題

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113學年度 · 113微積分(B) · 第 1 題

題目

Problem

  1. (a)
lim⁡x→0∣x−tan⁡x∣1ln⁡∣x∣=(1)‾ .\lim_{x \to 0} |x - \tan x|^{\frac{1}{\ln |x|}} = \underline{\quad(1)\quad} \,.

解答

解法一

思路

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  1. 本題求當 x→0x \to 0 時，底數和指數皆與 xx 相關的極限。這是典型的 000^0 型未定式。
  2. 第一步：自然對數變形： 令 y=∣x−tan⁡x∣1ln⁡∣x∣y = |x - \tan x|^{\frac{1}{\ln |x|}}，取自然對數後得： ln⁡y=ln⁡∣x−tan⁡x∣ln⁡∣x∣\ln y = \frac{\ln |x - \tan x|}{\ln |x|}
  3. 第二步：分析與計算對數極限： 當 x→0x \to 0 時， ln⁡∣x−tan⁡x∣→−∞\ln|x - \tan x| \to -\infty， ln⁡∣x∣→−∞\ln|x| \to -\infty，此極限為 −∞−∞\frac{-\infty}{-\infty} 型。 我們可以使用羅必達法則 (L’Hôpital’s Rule)。
    • 分子求導： ddxln⁡∣x−tan⁡x∣=1−sec⁡2xx−tan⁡x=−tan⁡2xx−tan⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln|x - \tan x| = \frac{1 - \sec^2 x}{x - \tan x} = \frac{-\tan^2 x}{x - \tan x}。
    • 分母求導： ddxln⁡∣x∣=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln|x| = \frac{1}{x}。
    • 整理比值： −tan⁡2xx−tan⁡x1x=−xtan⁡2xx−tan⁡x\frac{\frac{-\tan^2 x}{x - \tan x}}{\frac{1}{x}} = \frac{-x \tan^2 x}{x - \tan x}
  4. 第三步：求導後極限簡化： 我們知道當 x→0x \to 0 時， tan⁡x≈x\tan x \approx x，故分子 −xtan⁡2x≈−x3-x\tan^2 x \approx -x^3。 我們對分母 x−tan⁡xx - \tan x 使用泰勒展開： tan⁡x=x+x33+o(x3)  ⟹  x−tan⁡x≈−x33\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \implies x - \tan x \approx -\frac{x^3}{3}。 因此，比值極限為： lim⁡x→0−x3−x33=3\lim_{x\to 0} \frac{-x^3}{-\frac{x^3}{3}} = 3
  5. 第四步：取指數還原： lim⁡x→0y=e3\lim_{x\to 0} y = e^3。

答題過程

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令待求極限之函數為：

y=∣x−tan⁡x∣1ln⁡∣x∣y = |x - \tan x|^{\frac{1}{\ln |x|}}

對兩邊取自然對數：

\ln y = \frac{\ln |x - \tan x|}{\ln |x|}$$ 當 $x \to 0$ 時，分母 $\ln|x| \to -\infty$，分子 $\ln|x - \tan x| \to -\infty$，此為 $\frac{\infty}{\infty}$ 未定型。我們套用羅必達法則，對分子與分母分別求導：

\begin{align*} \lim_{x \to 0} \ln y \stackrel{\text{L.H.}}{=}&, \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln |x - \tan x|}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln |x|} \[4mm] =&, \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sec^2 x}{x - \tan x}}{\frac{1}{x}} \[4mm] =&, \lim_{x \to 0} \frac{x (1 - \sec^2 x)}{x - \tan x} \end{align*}

利用三角恆等式 $1 - \sec^2 x = -\tan^2 x$ 化簡分子：

\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{-x \tan^2 x}{x - \tan x}

當 $x \to 0$ 時，極限仍為 $\frac{0}{0}$ 型。我們可利用等價無窮小代換 $\tan x \approx x$ 簡化分子：

-x \tan^2 x \approx -x^3

同時，對分母 $\tan x$ 進行三階麥克勞林級數展開：

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \implies x - \tan x = -\frac{x^3}{3} - o(x^3)

將其代回極限式中： 將其代回極限式中：

\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{-x^3}{-\frac{x^3}{3}} = 3

最後，取指數以還原原極限： 最後，取指數以還原原極限：

\lim_{x \to 0} |x - \tan x|^{\frac{1}{\ln |x|}} = \lim_{x \to 0} e^{\ln y} = e^3

**結論：** (1) 填入 $e^3$。 </details>