題目

Problem

Show your work to get the points.

(a) For the series $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(x-1)^{2n+1}}{2n+1}$ , find its radius and interval of convergence.

Then identify the values of $x$ for which the series converges: \[2mm] (b) absolutely; \[2mm] (c) conditionally.

(9) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ . (10%)

解答

解法一

思路

展開

第 (a) 小題：求收斂半徑與收斂區間
- 我們令第 $n$ 項為 $a_n(x) = \frac{(-1)^n (x-1)^{2n+1}}{2n+1}$ 。
- 使用比值審斂法 (Ratio Test) 來判斷絕對收斂的初步範圍： $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+3} |x-1|^2 = |x-1|^2$ 令 $L < 1 \implies |x-1|^2 < 1 \implies |x-1| < 1$ ，解得 $0 < x < 2$ 。
- 這說明收斂中心為 $1$ ，收斂半徑為 $R = 1$ 。
- 端點判定：我們需單獨代入 $x=0$ $x = 0$ 與 $x=2$ $x = 2$ 。
  - $x=0 \implies \sum \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$ （交錯級數，收斂）。
  - $x=2 \implies \sum \frac{(-1)^n}{2n+1}$ （交錯級數，收斂）。
  - 因此收斂區間為 $[0, 2]$ 。
第 (b) 小題：求絕對收斂的值域
- 根據比值審斂法，當 $L < 1$ 即 $|x-1| < 1 \implies x \in (0, 2)$ 時，級數絕對收斂。
- 對於端點 $x=0$ 和 $x=2$ ，其絕對值級數均為 $\sum \frac{1}{2n+1}$ ，這與諧和級數同階（發散），因此端點處不屬於絕對收斂。
- 故絕對收斂範圍為 $0 < x < 2$ 。
第 (c) 小題：求條件收斂的值域
- 條件收斂的定義是級數本身收斂，但絕對值級數發散。
- 根據前兩小步的分析，端點 $x=0$ 與 $x=2$ 本身收斂，但取絕對值後發散，因此正是條件收斂點。
- 故條件收斂值為 $x=0$ 與 $x=2$ 。

答題過程

展開

第 (a) 小題：尋找收斂半徑與收斂區間

我們令冪級數的第 $n$ 項為：

a_n(x) = \frac{(-1)^n(x-1)^{2n+1}}{2n+1}

我們使用比值審斂法（Ratio Test），計算比值的絕對值在 $n \to \infty$ 時的極限：

\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| =&\, \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{2n+3}}{2n+3}}{\frac{(-1)^n(x-1)^{2n+1}}{2n+1}} \right| \\[4mm] =&\, \lim_{n\to\infty} \left( |x-1|^2 \cdot \frac{2n+1}{2n+3} \right) \\[4mm] =&\, |x-1|^2 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+3} \\[4mm] =&\, |x-1|^2 \cdot 1 = |x-1|^2 \end{align*}

根據比值審斂法，級數絕對收斂的條件為極限值小於 $1$ ：

|x-1|^2 < 1 \implies |x-1| < 1 \implies -1 < x-1 < 1 \implies 0 < x < 2

因此，該冪級數以 $c = 1$ 為收斂中心，其收斂半徑為：

R = 1

接著，我們單獨判定端點的收斂性：

端點 $x = 0$ ：將 $x = 0$ 代入原級數：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(0-1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(-1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}$
這是一個交錯級數。令 $b_n = \frac{1}{2n+1} > 0$ ：
- $b_n$ 為單調遞減。
- $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n+1} = 0$ 。根據交錯級數審斂法（Alternating Series Test），此級數收斂。
端點 $x = 2$ ：將 $x = 2$ 代入原級數：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2-1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$
這也是一個交錯級數。同理，令 $b_n = \frac{1}{2n+1} > 0$ 且滿足遞減趨於 $0$ ，由交錯級數審斂法判定為收斂。

綜上所述，兩個端點皆收斂，故收斂區間為：

[0, 2] \quad \big(\text{或寫成 } 0 \le x \le 2\big)

第 (b) 小題：識別絕對收斂的 $x$ 值範圍

根據比值審斂法：當 $|x-1| < 1$ 即 $x \in (0, 2)$ 時，級數絕對收斂。

我們需進一步檢查端點 $x = 0$ 與 $x = 2$ 是否滿足絕對收斂：取這兩個端點級數的絕對值：

\sum_{n=0}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{2n+1} \right| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1}

因為 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1/(2n+1)}{1/n} = \frac{1}{2} > 0$ ，且諧和級數 $\sum \frac{1}{n}$ 發散，根據極限比較法，絕對值級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1}$ 屬於發散級數。因此，端點處並非絕對收斂。

結論： 絕對收斂（absolutely convergent）的 $x$ 範圍為：

x \in (0, 2) \quad \big(\text{或寫成 } 0 < x < 2\big)

第 (c) 小題：識別條件收斂的 $x$ 值範圍

條件收斂的定義為級數本身收斂，但其絕對值級數發散。由 (a) 小題與 (b) 小題的分析可知，級數在端點 $x = 0$ 與 $x = 2$ 處本身是收斂的，但其絕對值級數在此發散。

結論： 條件收斂（conditionally convergent）的 $x$ 值為：

x = 0 \quad \text{與} \quad x = 2

114 政大微積分 Part B 第 4 題

題目

解答

解法一

思路

答題過程