1. 本題要求尋找函數 $f(x) = e^{3x+1}$ 在 $x=0$ 處的展開式，即麥克勞林級數 (Maclaurin Series)，並計算其收斂半徑。
2. 我們可以利用指數函數基本麥克勞林展開式： $e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!} = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \cdots \quad (u \in \mathbb{R})$ 此基本級數的收斂半徑為 $R = \infty$。
3. 首先，將函數利用指數律拆開： $f(x) = e^{3x+1} = e^1 \cdot e^{3x} = e \cdot e^{3x}$
4. 令 $u = 3x$，代入基本展開式中： $e^{3x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(3x)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3^k}{k!} x^k$
5. 兩邊乘以常數 $e$，即可得到 $f(x)$ 的麥克勞林級數。
6. 對於收斂半徑，因為基本級數在整個實數集上均收斂，故當 $3x \in \mathbb{R} \implies x \in \mathbb{R}$ 時，新級數亦收斂，其收斂半徑同樣為 $R = \infty$。也可以使用比值審斂法（Ratio Test）嚴格證明其為 $\infty$。

第一步：求出麥克勞林級數

已知基本的指數函數 $e^u$ 在 $u=0$ 處的麥克勞林展開式為：

我們將原函數 $f(x) = e^{3x+1}$ 利用指數律進行拆分：

將 $u = 3x$ 代入基本的展開式中：

兩邊同乘以常數 $e$：

這就是 $f(x)$ 的麥克勞林級數。也可以寫成展開的前幾項形式：

第二步：求收斂半徑

我們利用比值審斂法（Ratio Test）求其收斂半徑。 令級數的第 $k$ 項為 $a_k(x) = \frac{e 3^k}{k!} x^k$。我們計算比值的極限：

對於任意實數 $x$，該極限值均為 $0$，此值恆小於 $1$。 這說明級數在整個實數集 $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$ 上皆為絕對收斂。

因此，收斂半徑（Radius of convergence）為：

結論：

• 麥克勞林級數為 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e 3^k}{k!} x^k$。
• 收斂半徑為 $\displaystyle R = \infty$。