1. 本題給出一個累次二重積分，其積分範圍為 $0 \le x \le \pi/6$，$\sin x \le y \le 1/2$。
2. 第一步：先積內層關於 $y$ 的積分 被積分函數是 $x y^2$，其中 $x$ 視為常數。 $\int_{\sin x}^{1/2} x y^2 \,\mathrm{d}y = x \left[ \frac{1}{3}y^3 \right]_{\sin x}^{1/2} = \frac{1}{3}x \left( \frac{1}{8} - \sin^3 x \right) = \frac{1}{24}x - \frac{1}{3}x\sin^3 x$
3. 第二步：代回外層積關於 $x$ 的積分 這時我們要計算： $\int_{0}^{\pi/6} \left( \frac{1}{24}x - \frac{1}{3}x\sin^3 x \right) \mathrm{d}x$ 這可以分成兩個一重積分：
   • 積分一：$\int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{24}x \,\mathrm{d}x$。這是一個簡單的冪函數定積分。
   • 積分二：$\int_{0}^{\pi/6} \frac{1}{3}x\sin^3 x \,\mathrm{d}x$。這涉及 $x$ 乘上 $\sin^3 x$，需要先利用三角三倍角公式 $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ 將 $\sin^3 x$ 降次，拆成單純的 $\sin x$ 與 $\sin 3x$ 的線性組合，再利用分部積分法 (Integration by Parts) 分別計算。
4. 將兩個積分結果相減，即可得出最終結果。

第一步：計算內層關於 $y$ 的積分

我們將 $x$ 視為常數，對 $y$ 求積分：

第二步：將結果代回外層對 $x$ 進行積分

原二重積分化為：

我們先計算第一個簡單的積分項：

接著，計算第二個積分項：

第三步：利用三角恆等式降次

利用正弦三倍角公式：

將其代回 $I_2$：

接下來我們利用分部積分法分別求這兩個定積分：

1. 計算 $\displaystyle \int x\sin x \,\mathrm{d}x$： 令 $u = x \implies \mathrm{d}u = \mathrm{d}x$；$\mathrm{d}v = \sin x \,\mathrm{d}x \implies v = -\cos x$。

   $$\int x\sin x \,\mathrm{d}x = -x\cos x + \int \cos x \,\mathrm{d}x = -x\cos x + \sin x$$

   代入積分上下限：

   $$\begin{align*} \int_{0}^{\pi/6} x\sin x \,\mathrm{d}x =&\, \Big[ -x\cos x + \sin x \Big]_{0}^{\pi/6} \\[4mm] =&\, \left( -\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6} \right) - (0) \\[4mm] =&\, -\frac{\pi}{6} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2} \end{align*}$$

2. 計算 $\displaystyle \int x\sin 3x \,\mathrm{d}x$： 令 $u = x \implies \mathrm{d}u = \mathrm{d}x$；$\mathrm{d}v = \sin 3x \,\mathrm{d}x \implies v = -\frac{1}{3}\cos 3x$。

   $$\int x\sin 3x \,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{3}\int \cos 3x \,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x$$

   代入積分上下限：

   $$\begin{align*} \int_{0}^{\pi/6} x\sin 3x \,\mathrm{d}x =&\, \Big[ -\frac{1}{3}x\cos 3x + \frac{1}{9}\sin 3x \Big]_{0}^{\pi/6} \\[4mm] =&\, \left( -\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{9}\sin\frac{\pi}{2} \right) - (0) \\[4mm] =&\, 0 + \frac{1}{9} = \frac{1}{9} \quad \left(\text{因為 } \cos\frac{\pi}{2} = 0, \sin\frac{\pi}{2} = 1\right) \end{align*}$$

將這兩個定積分結果代回 $I_2$ 的式子中：

第四步：計算最終總和

將 $I_1$ 與 $I_2$ 相減：

（通分：$48 \times 36 = 1728$，$216 \times 8 = 1728$，故分子分別乘上 $36$ 與 $8$，即 $25 \times 8 = 200$）。

因此，第 (6) 格答案為 \frac{\pi^2 + 36\sqrt{3}\pi - 200}{1728}。