1. 本題給出一個極限式，其中極限變數為 $\varepsilon \to 0^+$，要求證明該極限等於 $b(x)b'(x)$。
2. 觀察極限式，分子是 $b(x + \text{增量}) - b(x)$，分母是 $\sqrt{\varepsilon}$。這與導數的定義式非常像。 導數在點 $x$ 的定義為： $b'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{b(x+h) - b(x)}{h}$
3. 為了套用導數定義，我們可以令新變數 $h = b(x)\sqrt{\varepsilon}$。這樣做的好處是將分子的括弧內部化為標準的 $x+h$。
4. 當 $\varepsilon \to 0^+$ 時：
   • 因為 $b(x)$ 對於極限而言是一個與 $\varepsilon$ 無關的常數，所以增量 $h = b(x)\sqrt{\varepsilon} \to 0$。
5. 分類討論：
   • 情況一：若 $b(x) = 0$，則分子中的 $b(x + 0) - b(x) = 0$。整個極限式在取極限前就是恆為 $0$ 的常數，其極限為 $0$，而右式 $b(x)b'(x) = 0 \cdot b'(x) = 0$，等式成立。
   • 情況二：若 $b(x) \neq 0$，我們可以將分母的 $\sqrt{\varepsilon}$ 改寫為 $\frac{h}{b(x)}$，進而把極限式拆開，直接套用導數定義。

我們對自變數 $x$ 處的函數值 $b(x)$ 分成兩種情況進行討論：

情況一：當 $b(x) = 0$ 時

將 $b(x) = 0$ 代入待證極限式的左側：

而等式右側為：

此時左式等於右式，等式成立。

情況二：當 $b(x) \neq 0$ 時

我們引入變數代換，令：

由於 $b(x)$ 為與 $\varepsilon$ 無關的實數，且 $\varepsilon \to 0^+$，因此：

由代換關係可將分母的 $\sqrt{\varepsilon}$ 表示為：

將這些代換關係寫入原極限式中，並將分母中的分式展開：

由於 $b(x)$ 不隨 $h$ 改變（對於極限而言是常數），且已知 $b$ 在 $x$ 處可微（即 $\lim_{h\to 0}\frac{b(x+h)-b(x)}{h}$ 存在且等於 $b'(x)$），根據極限的常數倍數性質：

等式成立。

結論： 綜上所述，無論 $b(x)$ 是否為 $0$，等式均成立：

證明完畢。