1. 本題要求證明在開區間 $x \in (0, \pi/6)$ 內，不等式 $\frac{\sin x}{x} > \frac{3}{\pi}$ 恆成立。
2. 觀察不等式左邊，我們令輔助函數為 $g(x) = \frac{\sin x}{x}$（這也是著名的辛格函數 sinc function 的一半）。
3. 如果我們能證明 $g(x)$ 在區間 $(0, \pi/6]$ 上是嚴格遞減的，那麼對於區間內的任意 $x$，其函數值都必須大於右端點處的函數值，即： $g(x) > g\left(\frac{\pi}{6}\right) \quad \text{對於所有 } 0 < x < \frac{\pi}{6}$
4. 如何證明 $g(x)$ 遞減： 我們對 $g(x)$ 求導： $g'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x(x - \tan x)}{x^2}$ 我們知道在第一象限 $(0, \pi/2)$ 內，$\tan x > x$ 恆成立。這可以通過令 $h(x) = \tan x - x$，求導得 $h'(x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \ge 0$ 來快速證明。 因此，在該區間內 $x - \tan x < 0$，再配合 $\cos x > 0$，即可確定 $g'(x) < 0$，即函數單調遞減。
5. 最後計算端點值 $g(\pi/6) = \frac{\sin(\pi/6)}{\pi/6} = \frac{3}{\pi}$，即可完成證明。

我們定義輔助函數為：

對 $g(x)$ 進行微分，利用商求導法則：

為了判斷分子 $x\cos x - \sin x$ 的正負號，我們將其提取 $\cos x$：

1. 證明 $\tan x > x$ 在第一象限恆成立 我們令另一個輔助函數為：

對 $h(x)$ 求導：

當 $x \in (0, \pi/2)$ 時，$h'(x) = \tan^2 x > 0$，說明 $h(x)$ 在此區間上為嚴格單調遞增。 又因為 $h(0) = \tan 0 - 0 = 0$，所以在該開區間內：

2. 判定 $g'(x)$ 的正負號 當 $x \in (0, \pi/6)$ 時：

• $\cos x > 0$（因為在此區間內餘弦函數為正值）
• $x - \tan x < 0$（由前述 $\tan x > x$ 移項而得）
• $x^2 > 0$

將這些正負號代回 $g'(x)$ 中：

因為 $g'(x) < 0$ 在 $x \in (0, \pi/6)$ 上恆成立，所以 $g(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在該區間上為嚴格單調遞減。

3. 代入端點求得不等式 由於 $g(x)$ 是嚴格單調遞減的，因此對於任意的 $0 < x < \frac{\pi}{6}$，均有：

我們計算右端點的函數值：

代回不等式中：

證明完畢。