1. 本題要求計算極座標曲線四葉玫瑰線 $r = a\sin 2\theta$ 其中一瓣（單葉）的面積。
2. 第一步：確定角度範圍 單葉是由兩個連續使 $r = 0$ 的 $\theta$ 值所夾成的區域。 令 $r = a\sin 2\theta = 0 \implies \sin 2\theta = 0 \implies 2\theta = 0, \pi, 2\pi, \dots$。 由此可解得 $\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$。 這說明最先形成的第一片葉子對應的角度區間為： $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$
3. 第二步：利用極座標面積公式計算 極座標區域的面積公式為： $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a\sin 2\theta)^2 \,\mathrm{d}\theta = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2\theta \,\mathrm{d}\theta$
4. 第三步：積分求解 利用半角公式（或倍角公式）對 $\sin^2 2\theta$ 降次： $\sin^2 2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{2}$ 代回積分式中求值，即可得出結果。

第一步：確定其中一葉的角度積分上下限

四葉玫瑰線的極座標方程式為 $r = a\sin 2\theta$。

要找出其中一葉的範圍，我們令極徑 $r = 0$：

當 $k=0$ 時，$\theta = 0$；當 $k=1$ 時，$\theta = \frac{\pi}{2}$。 這說明玫瑰線的其中一個瓣（葉）對應的極角範圍為：

第二步：套用極座標面積公式並計算

極座標曲線圍成的區域面積 $A$ 為：

利用三角降次公式 $\sin^2 \phi = \frac{1 - \cos 2\phi}{2}$，這裡令 $\phi = 2\theta$：

將其代回定積分中進行計算：

結論： 該四葉玫瑰線單葉的面積為 $\displaystyle \frac{\pi a^2}{8}$。