1. 當 $x \to +\infty$ 時，正弦函數 $\sin x$ 並沒有單一的極限值，而是在區間 $[-1, 1]$ 上無窮次地週期震盪。
2. 因此，要求函數 $f(x) = \frac{3\sin x}{2+\sin x}$ 在 $x \to +\infty$ 時的下極限 ($\liminf$) 與上極限 ($\limsup$)，我們可以先分析函數 $f(x)$ 隨著 $\sin x$ 變化時的值域範圍。
3. 為了方便分析，我們將分式進行整理： $f(x) = \frac{3\sin x + 6 - 6}{2+\sin x} = 3 - \frac{6}{2+\sin x}$
4. 由於 $\sin x$ 的值域為 $[-1, 1]$，我們可以依序求出分母 $2+\sin x$、倒數分式以及整個 $f(x)$ 的最小值與最大值。
5. 由於 $\sin x$ 在 $x \to +\infty$ 的過程中會無窮次達到 $1$（在 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ 處）與 $-1$（在 $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ 處），因此函數在趨近無窮大時，其上極限即為函數的最大值，下極限即為函數的最小值。

首先，將函數 $f(x)$ 整理為常數與分數的形式，以便分析其範圍：

已知對於任意實數 $x$，正弦函數的範圍為：

我們從此範圍出發，逐步推導 $f(x)$ 的範圍：

1. 分母部分（不等式各項加 $2$）： $$1 \le 2 + \sin x \le 3$$
2. 倒數部分（因為各項皆為正數，取倒數後不等號方向對調）： $$\frac{1}{3} \le \frac{1}{2 + \sin x} \le 1$$
3. 乘上常數 $-6$（乘上負數，不等號方向再次對調）： $$-6 \le -\frac{6}{2 + \sin x} \le -2$$
4. 加上常數 $3$： $$3 - 6 \le 3 - \frac{6}{2 + \sin x} \le 3 - 2 \implies -3 \le f(x) \le 1$$

由此可知，函數 $f(x)$ 的上界為 $1$，下界為 $-3$。

求取上下極限：

• 下極限 ($\liminf$)： 因為當 $x_k = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{N}$）時，$\sin(x_k) = -1$，此時 $f(x_k) = -3$。 隨著 $k \to \infty$，點 $x_k \to +\infty$，函數值會無窮次達到下界 $-3$。 因此：

  $$\liminf_{x \to +\infty} f(x) = -3$$

• 上極限 ($\limsup$)： 因為當 $x_k = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{N}$）時，$\sin(x_k) = 1$，此時 $f(x_k) = 1$。 隨著 $k \to \infty$，點 $x_k \to +\infty$，函數值會無窮次達到上界 $1$。 因此：

  $$\limsup_{x \to +\infty} f(x) = 1$$

結論： (a) $\displaystyle \liminf_{x \to +\infty} f(x) = -3$ (b) $\displaystyle \limsup_{x \to +\infty} f(x) = 1$