本題是實分析（Real Analysis）中極為經典的基礎證明題，依序要求證明 Young 不等式、Hölder 不等式 與 Minkowski 不等式。這三個不等式是 $L^p$ 空間理論的基石。

1. 第 (1) 小題：證明 Young 不等式

   • 題目提示考慮對數函數。我們知道自然對數函數 $h(x) = \ln x$ 定義在 $x > 0$。
   • 計算其二階導數：$h'(x) = \frac{1}{x} \implies h''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$。
   • 由於二階導數恆小於 $0$，對數函數 $h(x) = \ln x$ 是**嚴格凹向下（Strictly Concave）**的函數。
   • 根據凹函數的定義，對於任意正實數 $u, v$ 與滿足 $\alpha + \beta = 1$ 的正權重 $\alpha, \beta$，恆有： $\ln(\alpha u + \beta v) \ge \alpha \ln u + \beta \ln v$
   • 我們令 $\alpha = \frac{1}{p}$，$\beta = \frac{1}{q}$（滿足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$），且令 $u = a^p$，$v = b^q$。
   • 代入對數凹性不等式即可證出結果。若 $a=0$ 或 $b=0$，不等式顯然成立。

2. 第 (2) 小題：證明 Hölder 不等式

   • 當 $\|f\|_p = 0$ 或 $\|g\|_q = 0$ 時，函數幾乎處處為 $0$，不等式兩邊皆為 $0$，顯然成立。
   • 當 $\|f\|_p > 0$ 且 $\|g\|_q > 0$ 時，我們利用「標準化（Normalization）」技巧。
   • 定義兩個標準化函數： $A(x) = \frac{|f(x)|}{\|f\|_p}, \quad B(x) = \frac{|g(x)|}{\|g\|_q}$
   • 對於每一個 $x \in [0, 1]$，將其作為實數代入第 (1) 小題的 Young 不等式： $A(x)B(x) \le \frac{1}{p} A(x)^p + \frac{1}{q} B(x)^q$
   • 將表達式展開，並對等式兩邊同時從 $0$ 到 $1$ 進行積分，化簡即可得到所求。

3. 第 (3) 小題：證明 Minkowski 不等式

   • 根據提示，我們將 $|f+g|^p$ 拆開，並利用三角不等式： $|f+g|^p = |f+g| \cdot |f+g|^{p-1} \le \Big(|f| + |g|\Big) |f+g|^{p-1} = |f||f+g|^{p-1} + |g||f+g|^{p-1}$
   • 兩邊從 $0$ 到 $1$ 積分： $\int_{0}^{1} |f+g|^p \,\mathrm{d}x \le \int_{0}^{1} |f||f+g|^{p-1} \,\mathrm{d}x + \int_{0}^{1} |g||f+g|^{p-1} \,\mathrm{d}x$
   • 對右邊的兩個積分項分別使用第 (2) 小題的 Hölder 不等式：
     • $\int |f||f+g|^{p-1} \le \|f\|_p \left( \int |f+g|^{(p-1)q} \right)^{1/q}$
   • 由於 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \implies (p-1)q = p$，所以右邊的項剛好可以化簡為 $\|f+g\|_p^{p/q}$ 的形式。
   • 提取公因子後，同除以 $\|f+g\|_p^{p/q}$，並利用指數關係 $p - \frac{p}{q} = p\left(1 - \frac{1}{q}\right) = p \cdot \frac{1}{p} = 1$，即可證出 Minkowski 不等式。

第 (1) 小題：證明 Young 不等式

當 $a = 0$ 或 $b = 0$ 時，不等式左側 $ab = 0$，而右側 $\frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q \ge 0$，不等式顯然成立。

現在討論 $a > 0$ 且 $b > 0$ 的情況： 我們定義對數函數 $h(x) = \ln x$，定義域為 $x > 0$。對其進行兩次微分：

對於所有 $x > 0$，二階導函數 $h''(x) < 0$ 恆成立。這說明函數 $h(x) = \ln x$ 為**嚴格凹向下（Strictly Concave）**的函數。

根據凹函數的性質，對於任意正實數 $u, v$ 與滿足 $\alpha + \beta = 1$ 的正權重 $\alpha, \beta$，恆滿足：

由於已知 $p > 1, q > 1$ 且滿足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，我們令：

代入凹性不等式 (1)：

由於自然對數函數是單調遞增的，我們對兩邊取指數以消去對數：

證畢。

第 (2) 小題：證明 Hölder 不等式

若 $\|f\|_{L^p} = 0$ 或 $\|g\|_{L^q} = 0$，則說明函數在區間上幾乎處處為 $0$，此時不等式兩邊皆為 $0$，等式顯然成立。

現在假定 $\|f\|_{L^p} > 0$ 且 $\|g\|_{L^q} > 0$。我們定義兩個標準化函數：

對於每一個特定的 $x \in [0, 1]$， $A(x) \ge 0$ 且 $B(x) \ge 0$。我們將其代入第 (1) 小題證得的 Young 不等式：

展開上述不等式：

我們將不等式兩邊同時對 $x$ 在區間 $[0, 1]$ 上進行定積分：

提取分母中的常數項：

注意到根據定義， $\int_{0}^{1} |f(x)|^p \,\mathrm{d}x = \|f\|_{L^p}^p$ 且 $\int_{0}^{1} |g(x)|^q \,\mathrm{d}x = \|g\|_{L^q}^q$。因此，右側的積分項與分母完全消去：

兩邊同乘以正數 $\|f\|_{L^p} \|g\|_{L^q}$，得到：

即：

證畢。

第 (3) 小題：證明 Minkowski 不等式

若 $\|f+g\|_{L^p} = 0$，則不等式顯然成立。

現在假定 $\|f+g\|_{L^p} > 0$。根據提示，我們展開並利用實數絕對值的三角不等式：

將不等式兩邊在 $[0, 1]$ 上進行積分：

我們對式 (2) 右側的兩個積分項分別使用第 (2) 小題的 Hölder 不等式：

1. 對於第一項：

   $$\int_{0}^{1} |f| |f+g|^{p-1} \,\mathrm{d}x \le \left( \int_{0}^{1} |f|^p \,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int_{0}^{1} \big(|f+g|^{p-1}\big)^q \,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{q}}$$

   因為已知 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \implies 1 - \frac{1}{p} = \frac{1}{q} \implies \frac{p-1}{p} = \frac{1}{q} \implies (p-1)q = p$。 將 $(p-1)q = p$ 代回上式：

   $$\int_{0}^{1} |f| |f+g|^{p-1} \,\mathrm{d}x \le \|f\|_{L^p} \left( \int_{0}^{1} |f+g|^p \,\mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{q}} = \|f\|_{L^p} \cdot \|f+g\|_{L^p}^{\frac{p}{q}}$$

2. 對於第二項（同理可得）：

   $$\int_{0}^{1} |g| |f+g|^{p-1} \,\mathrm{d}x \le \|g\|_{L^p} \cdot \|f+g\|_{L^p}^{\frac{p}{q}}$$

將這兩個 Hölder 估計式代回不等式 (2)：

因為 $\|f+g\|_{L^p} > 0$，我們兩邊同除以 $\|f+g\|_{L^p}^{\frac{p}{q}}$：

計算指數部分：

因此，我們得到：

即：

證畢。