1. 本題要求在約束條件 $g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0$ 下，求目標函數 $f(x, y, z) = xyz$ 的最大值與最小值。
2. 這是典型的條件極值問題，標準且通用的求解方法是拉格朗日乘子法。
3. 我們建構輔助函數： $L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) - \lambda g(x, y, z) = xyz - \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)$
4. 對 $x, y, z$ 分別求偏微並令其為 $0$：
   • $L_x = yz - 2\lambda x = 0 \implies yz = 2\lambda x$
   • $L_y = xz - 2\lambda y = 0 \implies xz = 2\lambda y$
   • $L_z = xy - 2\lambda z = 0 \implies xy = 2\lambda z$
5. 為了將這些偏導方程式化簡，我們可以同乘以相應的變數以湊出 $xyz$：
   • $xyz = 2\lambda x^2$
   • $xyz = 2\lambda y^2$
   • $xyz = 2\lambda z^2$ 從而得到 $2\lambda x^2 = 2\lambda y^2 = 2\lambda z^2$。
6. 分類討論：
   • 若 $\lambda = 0$，則 $xyz = 0$。
   • 若 $\lambda \neq 0$，則 $x^2 = y^2 = z^2$。將其代回約束條件 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，即可求出所有可能點的座標，進而比較大小得出最大與最小值。

我們令目標函數與約束條件分別為：

根據拉格朗日乘子法，我們設定梯度關係式：

這等價於求以下方程組的解：

我們將式 (1) 兩邊同乘 $x$，式 (2) 兩邊同乘 $y$，式 (3) 兩邊同乘 $z$，得到：

從而可得等式關係：

現在，我們對乘子 $\lambda$ 進行討論：

情況一：當 $\lambda = 0$ 時 由式 (1)、(2)、(3) 可得 $yz = 0$，$xz = 0$，$xy = 0$。 這代表 $x, y, z$ 中至少有兩個變數的值為 $0$。 此時，目標函數值為：

情況二：當 $\lambda \neq 0$ 時 由式 (5) 同除以 $2\lambda$，可得：

將此關係式代入約束條件式 (4)：

這給出了 $x, y, z$ 各自的可能值為 $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$。由此可以組合出下列可能點：

我們將這些點帶回目標函數 $f(x,y,z) = xyz$ 中求值：

1. 最大值點：當三個座標值均為正，或者恰有兩個座標值為負時，其乘積為正： $$f_{\max} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$$
2. 最小值點：當恰有一個座標值為負，或者三個座標值均為負時，其乘積為負： $$f_{\min} = -\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{3\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{9}$$

由於 $\frac{1}{3\sqrt{3}} > 0 > -\frac{1}{3\sqrt{3}}$，這兩個極值顯然大於情況一得到的 $0$。

結論：

• 最大值（maximum value）為 $\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}}$（或寫成 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{9}$）。
• 最小值（minimum value）為 $\displaystyle -\frac{1}{3\sqrt{3}}$（或寫成 $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{9}$）。