1. 本題要求證明當 $x \to 0$ 時，函數 $f(x) = \sin(1/x)$ 的極限不存在。
2. 在實分析中，證明極限不存在最標準且嚴密的方法是利用數列極限判定法（海涅定理 Heine’s Theorem）： 若函數極限 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 存在，那麼對於任何收斂於 $c$ 且項均不等於 $c$ 的數列 $\{x_n\}$，相應的函數值數列 $\{f(x_n)\}$ 都必須收斂於相同的極限值 $L$。
3. 反過來說，如果我們能找到兩個不同的數列 $\{x_n\}$ 與 $\{y_n\}$，滿足：
   • $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} y_n = 0$
   • 但是它們的函數值數列極限不相等，即 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) \neq \lim_{n\to\infty} f(y_n)$， 那麼就可以斷定該函數極限 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 必然不存在。
4. 為了讓 $\sin(1/x)$ 的計算極為簡單，我們選擇能讓 $\sin$ 函數取得最高點（$1$）與最低點（$-1$）的角度：
   • 令 $\frac{1}{x_n} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$
   • 令 $\frac{1}{y_n} = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \implies y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
5. 計算兩個數列極限並展示結果不同，即可完成嚴格證明。

根據函數極限與數列極限的關係（海涅定理）： 若極限 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在，則對於任何收斂至 $0$ 且不為 $0$ 的數列 $\{z_n\}$，其對應的函數值數列 $\{f(z_n)\}$ 必須收斂至同一個實數。

我們建構以下兩個數列 $\{x_n\}$ 與 $\{y_n\}$，其中 $n \in \mathbb{N}$：

1. 第一數列：

   $$x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$$

   當 $n \to \infty$ 時，分母趨近於無窮大，因此：

   $$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$$

2. 第二數列：

   $$y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$$

   當 $n \to \infty$ 時，同理可得：

   $$\lim_{n \to \infty} y_n = 0$$

現在，我們分別將這兩個數列代入函數 $f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 中計算其函數值級數的極限：

• 對於數列 $\{x_n\}$：

  $$f(x_n) = \sin\left( \frac{1}{x_n} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right)$$

  由於正弦函數的週期為 $2\pi$，對於任何整數 $n$，恆有 $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$。 因此：

  $$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$$

• 對於數列 $\{y_n\}$：

  $$f(y_n) = \sin\left( \frac{1}{y_n} \right) = \sin\left( \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \right)$$

  同理，對於任何整數 $n$，恆有 $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$。 因此：

  $$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} (-1) = -1$$

結論：

我們找到了兩個數列 $\{x_n\}$ 與 $\{y_n\}$ 同樣收斂至 $0$，但其函數值極限值卻不相等：

根據數列特徵判定法，該函數極限：

不存在。證明完畢。