題目
Problem
Let sin − 1 : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] \sin^{-1} : [-1, 1] \to [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] sin − 1 : [ − 1 , 1 ] → [ − 2 π , 2 π ] sin : [ − π 2 , π 2 ] → [ − 1 , 1 ] \sin : [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \to [-1, 1] sin : [ − 2 π , 2 π ] → [ − 1 , 1 ] ( sin − 1 ) ′ : ( − 1 , 1 ) → R (\sin^{-1})' : (-1, 1) \to \mathbb{R} ( sin − 1 ) ′ : ( − 1 , 1 ) → R
(2) 見解答 ‾ \underline{\quad\text{見解答}\quad} 見解答
解答
解法一
思路
展開
本題要求推導與計算反正弦函數 y = sin − 1 x y = \sin^{-1} x y = sin − 1 x
我們利用反函數求導法則 （或者使用隱函數求導法 ，兩者在本質上是完全一樣的）。
反正弦的定義等價於關係式：
sin y = x , 其中 y ∈ ( − π 2 , π 2 ) 且 x ∈ ( − 1 , 1 ) \sin y = x, \quad \text{其中 } y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \text{ 且 } x \in (-1, 1) sin y = x , 其中 y ∈ ( − 2 π , 2 π ) 且 x ∈ ( − 1 , 1 )
對等號兩邊同時關於 x x x d d x ( sin y ) = d d x ( x ) ⟹ cos y ⋅ y ′ = 1 ⟹ y ′ = 1 cos y \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} (\sin y) = \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} (x) \implies \cos y \cdot y' = 1 \implies y' = \frac{1}{\cos y} d x d ( sin y ) = d x d ( x ) ⟹ cos y ⋅ y ′ = 1 ⟹ y ′ = c o s y 1
接著，將 cos y \cos y cos y x x x cos 2 y + sin 2 y = 1 \cos^2 y + \sin^2 y = 1 cos 2 y + sin 2 y = 1 cos y = ± 1 − sin 2 y = ± 1 − x 2 \cos y = \pm\sqrt{1 - \sin^2 y} = \pm\sqrt{1 - x^2} cos y = ± 1 − sin 2 y = ± 1 − x 2
關鍵的一步是判斷正負號。因為 y ∈ ( − π / 2 , π / 2 ) y \in (-\pi/2, \pi/2) y ∈ ( − π /2 , π /2 ) cos y > 0 \cos y > 0 cos y > 0 cos y = 1 − x 2 \cos y = \sqrt{1 - x^2} cos y = 1 − x 2
代回求導式即可得到反正弦函數的導數公式。
答題過程
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我們令反正弦函數關係式為：
y = sin − 1 x y = \sin^{-1} x y = sin − 1 x 根據反函數的定義，這等價於：
sin y = x , 其中 y ∈ [ − π 2 , π 2 ] 且 x ∈ [ − 1 , 1 ] \sin y = x, \quad \text{其中 } y \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \text{ 且 } x \in [-1, 1] sin y = x , 其中 y ∈ [ − 2 π , 2 π ] 且 x ∈ [ − 1 , 1 ] 在開區間 x ∈ ( − 1 , 1 ) x \in (-1, 1) x ∈ ( − 1 , 1 ) x x x
d d x ( sin y ) = d d x ( x ) cos y ⋅ d y d x = 1 \begin{align*}
\frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} (\sin y) =&\, \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} (x) \\[4mm]
\cos y \cdot \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}y}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} =&\, 1
\end{align*} d x d ( sin y ) = cos y ⋅ d x d y = d x d ( x ) 1 當 x ∈ ( − 1 , 1 ) x \in (-1, 1) x ∈ ( − 1 , 1 ) y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) y ∈ ( − 2 π , 2 π ) 0 0 0 cos y > 0 \cos y > 0 cos y > 0
d y d x = 1 cos y — (1) \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}y}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} = \frac{1}{\cos y} \quad \text{--- (1)} d x d y = cos y 1 — (1) 利用三角平方和恆等式 cos 2 y + sin 2 y = 1 \cos^2 y + \sin^2 y = 1 cos 2 y + sin 2 y = 1
cos y = 1 − sin 2 y ( 取正值，因為 cos y > 0 ) \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} \quad (\text{取正值，因為 } \cos y > 0) cos y = 1 − sin 2 y ( 取正值，因為 cos y > 0 ) 將 sin y = x \sin y = x sin y = x
cos y = 1 − x 2 \cos y = \sqrt{1 - x^2} cos y = 1 − x 2 將此表達式代回式 (1) 中，得到：
d y d x = 1 1 − x 2 \frac{\mathop{}\!\mathrm{d}y}{\mathop{}\!\mathrm{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} d x d y = 1 − x 2 1 結論：
反正弦函數的導函數為：
( sin − 1 ) ′ ( x ) = 1 1 − x 2 , x ∈ ( − 1 , 1 ) (\sin^{-1})'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad x \in (-1, 1) ( sin − 1 ) ′ ( x ) = 1 − x 2 1 , x ∈ ( − 1 , 1 ) 