1. 本題要求計算冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^n$ 的和函數。
2. 我們從最基本的幾何級數求和公式出發： $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \quad (\text{對於 } |x| < 1)$
3. 我們的策略是透過**「求導再乘以 $x$」**這一運算步驟（即算子 $x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$），將一般項的係數從 $1 \to n \to n^2 \to n^3$ 逐步提升：
   • 一次運算（求 $n x^n$ 的和）： 對幾何級數求導： $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{(1-x)^2}$。 兩邊同乘以 $x$： $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$。
   • 二次運算（求 $n^2 x^n$ 的和）： 對上式求導： $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{1+x}{(1-x)^3}$。 兩邊同乘以 $x$： $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。
   • 三次運算（求 $n^3 x^n$ 的和）： 對上式求導後再同乘以 $x$，即可得到最終結果。

當 $|x| < 1$ 時，我們已知幾何級數（等比級數）的和函數為：

第一步：求級數 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的和

對幾何級數兩邊關於 $x$ 進行逐項求導：

兩側同乘以 $x$：

第二步：求級數 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n$ 的和

對式 (1) 兩邊關於 $x$ 再次進行逐項求導（使用商求導法則）：

兩側同乘以 $x$：

第三步：求級數 $\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^n$ 的和

對式 (2) 兩邊關於 $x$ 第三次進行逐項求導：

兩側同乘以 $x$：

結論： 當 $|x| < 1$ 時，級數和為 $\displaystyle \frac{x(x^2 + 4x + 1)}{(1-x)^4}$（或寫作 $\frac{x^3 + 4x^2 + x}{(1-x)^4}$）。

1. 我們可以將高次係數 $n^3$ 拆寫為遞降階乘（組合數係數形式）的線性組合： $n^3 = n(n-1)(n-2) + An(n-1) + Bn + C$
2. 經展開比對係數：
   • $n(n-1)(n-2) = n^3 - 3n^2 + 2n$。
   • 為了湊出 $n^3$，我們需要加上 $3n^2$。而 $3n(n-1) = 3n^2 - 3n$。
   • 目前為止： $n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) = n^3 - n$。
   • 因此只需再加上 $n$，即得恆等式： $n^3 = n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n$
3. 將此恆等式代回求和式中，可拆為三個易求導的級數： $\sum_{n=1}^{\infty} n^3 x^n = \sum_{n=3}^{\infty} n(n-1)(n-2)x^n + 3\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^n + \sum_{n=1}^{\infty} nx^n$
4. 提取對應的 $x^3, x^2, x$ 後，這三項可分別表示為幾何級數 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ 的三階、二階與一階導數。

我們將 $n^3$ 進行多項式拆分：

將此拆分代入待求級數中：

（注意：求和起點已根據消去零值項調整為 $3, 2, 1$。）

定義幾何級數函數：

對其進行一階至三階求導：

1. 一階導數： $$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-x)^{-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$$
2. 二階導數： $$f''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-x)^{-2} = \frac{2}{(1-x)^3}$$
3. 三階導數： $$f'''(x) = \sum_{n=3}^{\infty} n(n-1)(n-2) x^{n-3} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ 2(1-x)^{-3} \right] = \frac{6}{(1-x)^4}$$

將上述導數公式代回式 (1) 中：

將各分項通分，公分母為 $(1-x)^4$：

結論： 求得級數和為 $\displaystyle \frac{x(x^2 + 4x + 1)}{(1-x)^4}$。