1. 本題要求連續二元函數 $f(x, y) = e^{-xy}$ 在橢圓閉區域 $x^2 + 4y^2 \le 1$ 上的最大值與最小值。
2. 根據極值定理，最值只可能出現在內部臨界點（滿足 $x^2+4y^2 < 1$ 且 $\nabla f = \mathbf{0}$）或邊界點（滿足 $x^2+4y^2 = 1$）。
3. 第一步：分析內部臨界點：
   • $f_x = -y e^{-xy} = 0 \implies y = 0$。
   • $f_y = -x e^{-xy} = 0 \implies x = 0$。
   • 內部唯一臨界點為 $P_0(0,0)$，其滿足 $0^2 + 4(0)^2 = 0 < 1$。
   • 函數值為 $f(0,0) = e^0 = 1$。
4. 第二步：分析邊界上的候選點（使用拉格朗日乘子法，設約束為 $g(x,y) = x^2+4y^2 = 1$）：
   • 方程組： $\nabla f = \lambda \nabla g \implies \langle -y e^{-xy}, -x e^{-xy} \rangle = \lambda \langle 2x, 8y \rangle$。
   • 兩式相除消去 $\lambda$ 得到： $\frac{y}{2x} = \frac{x}{8y} \implies x^2 = 4y^2$。
   • 代入邊界約束： $4y^2 + 4y^2 = 1 \implies 8y^2 = 1 \implies y = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$。
   • 由此解得 $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。
5. 第三步：比較各點函數值：
   • 若 $x, y$ 同號，則 $-xy = -1/4 \implies f = e^{-1/4}$。
   • 若 $x, y$ 異號，則 $-xy = 1/4 \implies f = e^{1/4}$。
   • 比較 $e^{-1/4} \approx 0.779$、 $1$、 $e^{1/4} \approx 1.284$，得出最大值與最小值。

第一步：尋找區域內部的臨界點

我們對函數 $f(x, y) = e^{-xy}$ 在開區域 $x^2 + 4y^2 < 1$ 內求偏導，並令其為 $0$：

（因為對於任意實數， $e^{-xy} \neq 0$ 恆成立。）

這給出了內部唯一臨界點 $P_0(0, 0)$。 我們檢驗該點是否在區域內部：

此點確實落在內部。計算其函數值：

第二步：利用拉格朗日乘子法尋找邊界上的候選點 ($x^2 + 4y^2 = 1$)

我們設定約束條件為：

根據拉格朗日乘子法，建立偏微分方程組 $\nabla f(x, y) = \lambda \nabla g(x, y)$：

顯然 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$（否則若其中一者為 0，代回方程式會導致 $x=y=0$，無法滿足邊界約束 $g(x,y)=1$）。我們將式 (2) 與式 (3) 相除以消去 $\lambda e^{xy}$：

將式 (4) 代回邊界約束條件 $x^2 + 4y^2 = 1$：

代回式 (4) 解出 $x$：

這給出了四個邊界候選點：

1. 當 $x$ 與 $y$ 同號時，即 $\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ 與 $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\, -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$： 此時， $xy = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$。代入函數值：

   $$f\left( \pm\frac{1}{\sqrt{2}},\, \pm\frac{1}{2\sqrt{2}} \right) = e^{-\frac{1}{4}} \quad \text{--- (5)}$$

2. 當 $x$ 與 $y$ 異號時，即 $\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\, -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ 與 $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$： 此時， $xy = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{4}$。代入函數值：

   $$f\left( \pm\frac{1}{\sqrt{2}},\, \mp\frac{1}{2\sqrt{2}} \right) = e^{\frac{1}{4}} \quad \text{--- (6)}$$

第三步：比較所有候選點的函數值

我們比較式 (1)、(5) 與 (6) 的數值大小。已知常數 $e \approx 2.718 > 1$：

• $e^{1/4} \approx 1.284 > 1$。
• $e^{-1/4} \approx 0.779 < 1$。

因此，最大值為 $e^{1/4}$，最小值為 $e^{-1/4}$。

結論：

• 全域最大值為 $\displaystyle e^{\frac{1}{4}}$（發生在邊界點 $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ 與 $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ 處）。
• 全域最小值為 $\displaystyle e^{-\frac{1}{4}}$（發生在邊界點 $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ 與 $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$ 處）。