1. 本題要求計算二重積分，被積函數含有 $e^{x^2-y^2} = e^{(x-y)(x+y)}$，且積分區域由四條直線 $x-y=0, x-y=2, x+y=0, x+y=3$ 圍成。
2. 這強烈提示我們使用變數變換（座標變換），令： $u = x + y, \quad v = x - y$
3. 第一步：確定新變數的積分區域：
   • $x+y = 0 \implies u = 0$。
   • $x+y = 3 \implies u = 3$。
   • $x-y = 0 \implies v = 0$。
   • $x-y = 2 \implies v = 2$。
   • 在 $(u, v)$ 平面上，新積分區域 $R^*$ 是一個簡單的矩形 $[0, 3] \times [0, 2]$。
4. 第二步：計算雅可比行列式 (Jacobian Determinant)：
   • 將 $x, y$ 用 $u, v$ 表示： $x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{u-v}{2}$
   • 雅可比矩陣為： $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2}$
   • 面積微元換算關係為： $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = |J| \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{1}{2} \,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。
5. 第三步：進行累次積分：
   • 被積函數化為： $(x+y)e^{(x-y)(x+y)} = u e^{uv}$。
   • 代入積分式： $\iint_{R^*} u e^{uv} \left( \frac{1}{2} \,\mathrm{d}v\mathrm{d}u \right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} u e^{uv} \,\mathrm{d}v\mathrm{d}u$
   • 先對 $v$ 積分（此時 $u$ 視為常數，正好可以與前面的 $u$ 抵消），再對 $u$ 積分。

第一步：引入新變數並確定其範圍

根據積分邊界條件與被積函數的指數部分 $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$，我們引入以下變數變換：

原積分區域 $R$ 在 $xy$ 平面上是由四條直線圍成的斜放矩形：

• $x + y = 0 \implies u = 0$
• $x + y = 3 \implies u = 3$
• $x - y = 0 \implies v = 0$
• $x - y = 2 \implies v = 2$

因此，在新座標系 $(u, v)$ 中，積分區域 $R^*$ 是一個平放的矩形，其邊界範圍為：

第二步：計算雅可比行列式（Jacobian）

我們需要將 $x, y$ 表示為 $u, v$ 的函數：

計算雅可比行列式 $J$：

在進行二重積分換元時，面積微元的換算關係為：

第三步：將二重積分轉換為累次積分並求解

被積函數可改寫為：

代入變換後的二重積分式：

首先計算內層關於 $v$ 的定積分（此時 $u$ 視為常數，且由於當 $u \neq 0$ 時， $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(e^{uv}) = u e^{uv}$）：

（註：若 $u=0$，則被積函數為 $0$，其積分亦為 $0$，故不影響連續函數的積分結果。）

代回外層積分：

結論： 二重積分的值為 $\displaystyle \frac{1}{4}(e^6 - 7)$。