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113 政大微積分 Part A 第 5 題

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113學年度 · 113微積分 · 第 5 題

題目

Problem

Question 5: [20pts] Students studying for an exam get xx hours of sleep in the two days leading up to the exam, where xx is the range 0≤x≤a0 \le x \le a. The number of students who got between x1x_1 and x2x_2 hours of sleep is given by

∫x1x2cx dx ;0≤x1≤x2≤a\int_{x_1}^{x_2} c x \,\mathrm{d}x \,; \quad 0 \le x_1 \le x_2 \le a

(1) [10pts] What fraction of the students got less than a/2a/2 hours of sleep?

(2) [10pts] Their scores are proportional to the amount of sleep they got: S(x)=100(x/a)S(x) = 100(x/a). Find the (correctly weighted) average score in the class.

解答

解法一

思路

展開

本題是一個將積分應用於機率分布與統計加權平均的應用題。題目給出學生人數的密度函數為 f(x)=cxf(x) = cx（其中 c>0c > 0 為比例常數），睡眠時間 xx 的定義域為 [0,a][0, a]。

(1) 求睡眠小於 a/2a/2 小時的學生比例

  • 睡眠小於 a/2a/2 小時的學生人數為： Npart=∫0a/2cx dxN_{\text{part}} = \int_{0}^{a/2} c x \,\mathrm{d}x
  • 全班學生的總人數為： Ntotal=∫0acx dxN_{\text{total}} = \int_{0}^{a} c x \,\mathrm{d}x
  • 所求比例即為 NpartNtotal\frac{N_{\text{part}}}{N_{\text{total}}}，我們直接計算這兩個定積分並相除，常數 cc 會自動消去。

(2) 求班級的加權平均分數

  • 每個睡眠時間 xx 的學生成績為 S(x)=100axS(x) = \frac{100}{a}x。
  • 由於人數分布並非均勻，計算平均分時必須進行加權。
  • 加權平均公式： μS=全班總成績全班總人數=∫0aS(x)⋅(cx) dx∫0acx dx\mu_S = \frac{\text{全班總成績}}{\text{全班總人數}} = \frac{\int_{0}^{a} S(x) \cdot (cx) \,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{a} cx \,\mathrm{d}x}
  • 分母即為 (1) 小題已求出的 ∫0acx dx=ca22\int_0^a cx \,\mathrm{d}x = \frac{ca^2}{2}。
  • 分子為： ∫0a(100ax)(cx) dx=100ca∫0ax2 dx\int_{0}^{a} \left(\frac{100}{a}x\right) (cx) \,\mathrm{d}x = \frac{100c}{a} \int_{0}^{a} x^2 \,\mathrm{d}x
  • 分別算出分子與分母，相除即可得到平均分數。

答題過程

展開

(1) 計算睡眠少於 a/2a/2 小時的學生比例

首先，我們計算睡眠小於 a2\frac{a}{2} 小時的學生人數 N<a/2N_{<a/2}：

N<a/2=∫0a2cx dx=c[x22]0a2=c((a2)22−0)=ca28N_{<a/2} = \int_{0}^{\frac{a}{2}} c x \,\mathrm{d}x = c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{a}{2}} = c \left( \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2}{2} - 0 \right) = \frac{c a^2}{8}

接著，計算全班學生的總人數 NtotalN_{\text{total}}：

Ntotal=∫0acx dx=c[x22]0a=ca22N_{\text{total}} = \int_{0}^{a} c x \,\mathrm{d}x = c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{a} = \frac{c a^2}{2}

因此，睡眠少於 a2\frac{a}{2} 小時的學生所佔比例為：

比例=N<a/2Ntotal=ca28ca22=28=14\text{比例} = \frac{N_{<a/2}}{N_{\text{total}}} = \frac{\frac{c a^2}{8}}{\frac{c a^2}{2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}

(2) 計算加權平均分數

學生的成績函數為：

S(x)=100axS(x) = \frac{100}{a} x

班級的加權平均分數 μS\mu_S 定義為：

μS=∫0aS(x)⋅(cx) dx∫0acx dx\mu_S = \frac{\int_{0}^{a} S(x) \cdot (c x) \,\mathrm{d}x}{\int_{0}^{a} c x \,\mathrm{d}x}

我們已在第 (1) 小題求得分母（學生總人數）：

分母=∫0acx dx=ca22\text{分母} = \int_{0}^{a} c x \,\mathrm{d}x = \frac{c a^2}{2}

現在計算分子（全班學生的分數加總）：

分子= ∫0a(100ax)⋅(cx) dx= 100ca∫0ax2 dx= 100ca[x33]0a= 100ca(a33)=100ca23\begin{align*} \text{分子} =&\, \int_{0}^{a} \left( \frac{100}{a} x \right) \cdot (c x) \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{100c}{a} \int_{0}^{a} x^2 \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{100c}{a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a} \\[4mm] =&\, \frac{100c}{a} \left( \frac{a^3}{3} \right) = \frac{100 c a^2}{3} \end{align*}

將分子與分母代回加權平均公式：

μS=100ca23ca22=1003⋅2=2003≈66.67\mu_S = \frac{\frac{100 c a^2}{3}}{\frac{c a^2}{2}} = \frac{100}{3} \cdot 2 = \frac{200}{3} \approx 66.67

結論：

  1. 學生比例為 14\displaystyle \frac{1}{4}（或 25%25\%）。
  2. 全班加權平均分數為 2003\displaystyle \frac{200}{3}（約 66.6766.67 分）。