1. 本題給出導數 $f'(x) = e^{x^2}$ 以及初始值 $f(0) = 10$，要求利用微積分中值定理 (Mean Value Theorem, MVT) 來估計 $f(1)$ 的取值區間 $(A, B)$。
2. 第一步：套用中值定理：
   • 由於 $f'(x) = e^{x^2}$ 在實數域上是處處可導且連續的，因此 $f$ 在閉區間 $[0, 1]$ 上連續，在開區間 $(0, 1)$ 上可導。
   • 根據均值定理，在 $(0, 1)$ 內至少存在一點 $c$（即 $0 < c < 1$）滿足： $\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = f'(c)$
   • 將已知值代入，可得： $f(1) - 10 = e^{c^2} \implies f(1) = 10 + e^{c^2}$
3. 第二步：估計 $e^{c^2}$ 的範圍：
   • 由於中值點 $c$ 滿足 $0 < c < 1$，我們對不等式進行單調遞增運算： $0 < c < 1 \implies 0 < c^2 < 1 \implies e^0 < e^{c^2} < e^1 \implies 1 < e^{c^2} < e$
4. 第三步：求 $f(1)$ 的上下界：
   • 將不等式同加 10： $10 + 1 < 10 + e^{c^2} < 10 + e \implies 11 < f(1) < 10 + e$
   • 由此可得下界 $A$ 與上界 $B$。

因為 $f'(x) = e^{x^2}$ 對於所有實數 $x$ 皆存在，這代表 $f(x)$ 是一個處處可導的函數。 因此， $f(x)$ 必然滿足：

1. 在閉區間 $[0, 1]$ 上連續。
2. 在開區間 $(0, 1)$ 上可導。

根據拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem），在開區間 $(0, 1)$ 內至少存在一點 $c$（滿足 $0 < c < 1$），使得：

我們將已知條件 $f(0) = 10$ 與 $f'(x) = e^{x^2}$ 代入上式：

由於中值點 $c$ 嚴格限制在區間 $(0, 1)$ 內：

兩側同時平方（因為 $c > 0$，平方運算保持不等號方向）：

再以常數 $e > 1$ 為底取指數（指數函數 $y = e^t$ 為單調遞增函數，不等號方向不變）：

即：

將不等式 (2) 的各項同時加上 $10$：

將式 (1) 代入中間項：

對照題目要求之形式 $A < f(1) < B$，我們可得：

結論： 所求的常數為 $A = 11$， $B = 10 + e$（或寫作 $e + 10$）。