1. 本題要求尋找實數域上函數 $f(x) = 2|x| - x^2 - 1$ 的所有局部極大值與局部極小值。
2. 因為函數包含絕對值 $|x|$，我們最好將其寫為分段函數以消除絕對值： $f(x) = \begin{cases} -2x - x^2 - 1 & \text{if } x < 0 \\ 2x - x^2 - 1 & \text{if } x \ge 0 \end{cases}$
3. 第一步：尋找臨界點 (Critical Points)：
   • 臨界點是指使一階導數 $f'(x) = 0$ 或使 $f'(x)$ 不存在的點。
   • 當 $x < 0$ 時： $f'(x) = -2 - 2x = 0 \implies x = -1$。
   • 當 $x > 0$ 時： $f'(x) = 2 - 2x = 0 \implies x = 1$。
   • 在分段交界處 $x = 0$，由於左極限 $f'_-(0) = -2$，右極限 $f'_+(0) = 2$，兩側導數不相等，故 $f'(0)$ 不存在。
   • 綜上，臨界點為 $x = -1, 0, 1$。
4. 第二步：利用一階導數判定法分析單調性：
   • 在區間 $(-\infty, -1)$ 內， $f'(x) > 0 \implies f$ 遞增。
   • 在區間 $(-1, 0)$ 內， $f'(x) < 0 \implies f$ 遞減。
   • 在區間 $(0, 1)$ 內， $f'(x) > 0 \implies f$ 遞增。
   • 在區間 $(1, \infty)$ 內， $f'(x) < 0 \implies f$ 遞減。
5. 第三步：判斷極值點並計算極值。

第一步：去絕對值寫成分段函數

給定函數：

我們根據 $x$ 的正負將其展開為分段函數：

第二步：求導數並尋找臨界點

我們對分段函數分別關於 $x$ 求導：

• 當 $x < 0$ 時： $$f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (-x^2 - 2x - 1) = -2 - 2x = -2(x + 1)$$
• 當 $x > 0$ 時： $$f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (-x^2 + 2x - 1) = 2 - 2x = 2(1 - x)$$

在原點 $x = 0$ 處：

• 左導數為： $\displaystyle f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = -2$
• 右導數為： $\displaystyle f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2$ 由於左右導數不相等，因此導數 $f'(0)$ 不存在。

我們令 $f'(x) = 0$ 來尋找臨界點：

• 當 $x < 0$ 時， $-2(x + 1) = 0 \implies x = -1$。
• 當 $x > 0$ 時， $2(1 - x) = 0 \implies x = 1$。 再加上導數不存在的點 $x = 0$，我們的臨界點共有三個：

第三步：單調性分析與極值判定

我們建立一階導數的正負符號表，以分析各區間的單調性：

根據一階導數判定法：

1. 在 $x = -1$ 處： 一階導數符號由正變負，故 $f(-1)$ 為局部極大值（Local Maximum）： $$f(-1) = 2|-1| - (-1)^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$$
2. 在 $x = 0$ 處： 一階導數符號由負變正，故 $f(0)$ 為局部極小值（Local Minimum）： $$f(0) = 2|0| - 0^2 - 1 = -1$$
3. 在 $x = 1$ 處： 一階導數符號由正變負，故 $f(1)$ 為局部極大值（Local Maximum）： $$f(1) = 2|1| - 1^2 - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$$

結論：

• 局部極大值為 $0$（發生在 $x = -1$ 與 $x = 1$ 處）。
• 局部極小值為 $-1$（發生在 $x = 0$ 處）。