1. 第一步：理解極座標曲線的範圍：
   • 曲線方程式為 $r = e^{\theta/2\pi}$。
   • 題目指出起點滿足 $r = 1$，此時 $e^{\theta/2\pi} = 1 \implies \theta = 0$。
   • 點 $P$ 逆時針旋轉一整圈（one complete revolution），意味著極角 $\theta$ 從 $0$ 變化到 $2\pi$。
   • 此曲線是一條對數螺旋線 (Logarithmic Spiral)，當 $\theta = 0$ 時 $r = 1$，當 $\theta = 2\pi$ 時 $r = e \approx 2.718$。
2. 第二步：建立極座標面積積分：
   • 極座標區域面積的計算公式為： $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 \,\mathrm{d}\theta$
   • 代入已知參數： $\alpha = 0, \beta = 2\pi, r = e^{\theta/2\pi}$： $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \left( e^{\theta/2\pi} \right)^2 \,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{\theta/\pi} \,\mathrm{d}\theta$
3. 第三步：進行定積分計算：
   • $\int e^{\theta/\pi} \,\mathrm{d}\theta = \pi e^{\theta/\pi}$。
   • 代入上下限 $2\pi$ 與 $0$ 求出最終面積。
4. 第四步：描繪曲線：
   • 說明此曲線自極軸上的點 $(1,0)$ 出發，隨著角度增加半徑呈指數級增長，繞行一圈後落在 $x$ 軸正向的點 $(e, 0)$，形成一個漩渦狀圖形。

第一步：求極角 $\theta$ 的變化範圍與面積表達式

已知極座標曲線方程式為：

當起點處 $r = 1$ 時，有：

線段 $OP$ 逆時針旋轉一整圈，對應的極角範圍為：

極座標下，線段 $OP$ 所掃過的區域面積公式為：

第二步：計算定積分

將 $r(\theta) = e^{\frac{\theta}{2\pi}}$ 代入面積公式：

第三步：曲線草圖描繪說明

此曲線為一典型的對數螺旋線（Logarithmic Spiral）：

• 起點在 $\theta = 0$ 處，此時極徑 $r = 1$，直角座標為 $(1, 0)$。
• 隨 $\theta$ 逆時針增加，極徑 $r$ 指數成長。在 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 時 $r = e^{1/4}$；在 $\theta = \pi$ 時 $r = e^{1/2}$；在 $\theta = \frac{3\pi}{2}$ 時 $r = e^{3/4}$。
• 繞行一整圈至 $\theta = 2\pi$ 時，極徑 $r = e \approx 2.72$，直角座標為 $(e, 0)$。
• 掃過區域是由對數螺旋線與 $x$ 軸正半軸介於 $[1, e]$ 之間的線段圍成的漩渦狀封閉區域。

結論： 線段 $OP$ 掃過的總面積為 $\displaystyle \frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$。