1. 本題要求計算一個定積分，題目已指定使用三角代換法（Trigonometric Substitution），令 $x = 2\tan u$。
2. 第一步：微分與代換：
   • $x = 2\tan u \implies \mathrm{d}x = 2\sec^2 u \,\mathrm{d}u$。
   • 分母項： $x^2 + 4 = 4\tan^2 u + 4 = 4(\tan^2 u + 1) = 4\sec^2 u$。
   • 因此， $(x^2+4)^2 = (4\sec^2 u)^2 = 16\sec^4 u$。
3. 第二步：更換積分上下限：
   • 當下限 $x = 0$ 時： $2\tan u = 0 \implies \tan u = 0 \implies u = 0$。
   • 當上限 $x = 2$ 時： $2\tan u = 2 \implies \tan u = 1 \implies u = \frac{\pi}{4}$。
4. 第三步：代入並化簡被積式： $\int_{0}^{\pi/4} \frac{2\sec^2 u}{16\sec^4 u} \,\mathrm{d}u = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{8\sec^2 u} \,\mathrm{d}u = \frac{1}{8} \int_{0}^{\pi/4} \cos^2 u \,\mathrm{d}u$
5. 第四步：利用倍角公式降次求值：
   • $\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$。
   • 進行單變數定積分計算。

我們根據題目提示使用三角代換法，令：

將積分界限從 $x$ 轉換為 $u$：

• 當 $x = 0$ 時， $2\tan u = 0 \implies u = 0$。
• 當 $x = 2$ 時， $2\tan u = 2 \implies \tan u = 1 \implies u = \frac{\pi}{4}$。

將 $x$ 的表達式與微分微元代入原積分式：

利用餘弦的二倍角降次公式 $\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{\pi + 2}{64}$。