1. 本題給出一個直角座標系下的三重積分。被積函數為 $x^2+y^2$，且積分邊界中含有圓弧邊界（$\pm\sqrt{4-x^2}$）與圓錐邊界（$\sqrt{x^2+y^2}$）。這強烈暗示我們使用柱座標變換 (Cylindrical Coordinates)。
2. 第一步：分析積分區域 $V$：
   • $x$ 的範圍： $-2 \le x \le 2$。
   • $y$ 的範圍： $-\sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-x^2}$。 這兩個區間在 $xy$ 平面上的投影區域 $D$ 剛好是一個半徑為 $R=2$ 的完整圓盤 $x^2+y^2 \le 4$。
   • $z$ 的範圍：自下方圓錐面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 到上方平面 $z = 2$。
3. 第二步：轉換至柱座標：
   • 柱座標轉換公式： $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$。
   • 雅可比行列式微元： $\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x = r\,\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
   • 投影圓盤 $D$ 的範圍： $\theta \in [0, 2\pi]$， $r \in [0, 2]$。
   • $z$ 的範圍：自下方 $z = r$ 到上方 $z = 2$。
   • 被積函數： $x^2 + y^2 = r^2$。
4. 第三步：進行累次積分計算： $I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r}^{2} r^2 \cdot r \,\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^3 (2 - r) \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 對其展開後直接進行簡單的單變數積分求解。

第一步：分析積分區域並進行柱座標轉換

直角座標的三重積分上限為：

• $-2 \le x \le 2$
• $-\sqrt{4-x^2} \le y \le \sqrt{4-x^2}$
• $\sqrt{x^2+y^2} \le z \le 2$

我們對其在 $xy$ 平面上的投影區域進行觀察，可知其為一個完整的圓：

這在極座標中可表示為半徑為 $2$ 的圓盤。

我們引入柱座標變換：

在新座標系中，積分區域的範圍定義為：

• $\theta$ 範圍：自 $0$ 變化到 $2\pi$。
• $r$ 範圍：自 $0$ 變化到 $2$。
• $z$ 範圍：由下方圓錐面 $z = \sqrt{x^2+y^2} = r$ 至平面 $z = 2$。

即有：

第二步：將積分式代入並求解

將被積函數 $x^2+y^2 = r^2$ 以及柱座標微元代入三重積分式：

首先對最內層關於 $z$ 進行積分：

代回積分式中，由於被積式與極角 $\theta$ 無關，我們可以直接將其與 $\theta$ 的積分拆開：

結論： 三重積分值為 $\displaystyle \frac{16\pi}{5}$。