1. 本題要求計算由上方拋物面 $z = x^2 + y^2$、下方 $xy$ 平面 ($z=0$) 以及側面圓柱面 $x^2 + y^2 = 2x$ 所圍成幾何立體的體積 $V$。
2. 幾何體的投影區域 $D$ 位於 $xy$ 平面上，由圓邊界 $x^2+y^2 = 2x$ 圍成。
3. 第一步：建立體積的二重積分式： $V = \iint_{D} z(x,y) \,\mathrm{d}A = \iint_{D} (x^2 + y^2) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
4. 第二步：轉換至極座標進行積分：
   • 圓柱方程式 $x^2+y^2 = 2x$ 轉換為極座標： $r^2 = 2r\cos\theta \implies r = 2\cos\theta$
   • 因為 $r \ge 0$，這限制了 $\cos\theta \ge 0$，因此極角範圍為 $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$。
   • 極徑範圍為 $r \in [0, 2\cos\theta]$。
   • 被積函數為 $x^2+y^2 = r^2$，雅可比微元為 $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
5. 第三步：進行累次積分： $V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]_{0}^{2\cos\theta} \mathrm{d}\theta = 4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta$ 利用餘弦函數的偶函數對稱性，以及華理士公式 (Wallis’ Formula) 進行極速求解。

第一步：確定體積的二重積分表示

立體下接 $xy$ 平面（即 $z=0$），上接曲面 $z = x^2+y^2$。其在 $xy$ 平面上的投影區域 $D$ 是由圓柱面 $x^2 + y^2 = 2x$ 圍成的圓。 因此，立體體積 $V$ 可表示為：

第二步：將積分轉換為極座標表示

我們引入極座標代換：

投影邊界圓的方程式在極座標下為：

由於極徑 $r \ge 0$，故有：

這給出了極座標下的積分區域範圍：

第三步：計算累次積分

將被積函數 $x^2 + y^2 = r^2$ 代入極座標積分式中：

因為被積函數 $\cos^4\theta$ 是一個偶函數，我們利用區間對稱性將積分限改為 $[0, \frac{\pi}{2}]$：

我們套用華理士公式（Wallis’ Formula）直接求解該定積分：

代回體積式中：

結論： 立體體積為 $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$。