1. 本題要求尋找冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x)$ 的收斂區間 (Interval of Convergence)。
2. 我們首先套用比例審斂法 (Ratio Test) 來求收斂半徑 $R$： $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} \right| < 1$
   • 計算該極限值： $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{(-3)^{n+1} x^{n+1}}{\sqrt{n+2}} \cdot \frac{\sqrt{n+1}}{(-3)^n x^n} \right| = 3|x| \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n+2}} = 3|x|$
   • 令 $3|x| < 1 \implies |x| < 1/3$。這說明收斂半徑為 $R = 1/3$，開區間為 $(-1/3, 1/3)$。
3. 第三步：單獨檢驗區間的兩個端點（比例審斂法失效處）：
   • 端點一：當 $x = -1/3$ 時： 將其代入級數，消除 $(-3)^n$ 得到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。 這是一個類似分母為 $n^{1/2}$ 的級數，我們可以利用極限比較審斂法（或 $p$-級數定理，$p=1/2 \le 1$）證明其發散。
   • 端點二：當 $x = 1/3$ 時： 將其代入級數，得到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$。 這是一個交錯級數。利用交錯級數審斂法 (Alternating Series Test) 驗證其連續遞減且極限為 $0$，證明其收斂。
4. 綜合開區間與端點收斂情況，即可得出收斂區間。

第一步：利用比例審斂法求收斂半徑

設級數的一般項為 $u_n(x) = \frac{(-3)^n x^n}{\sqrt{n+1}}$。 我們計算相鄰兩項绝对值比值的極限：

根據比例審斂法，當此極限值小於 $1$ 時，級數絕對收斂：

這說明該冪級數的收斂半徑為 $R = \frac{1}{3}$。

第二步：檢驗區間的邊界端點

因為當極限值等於 $1$ （即 $x = \pm 1/3$）時比例審斂法失效，我們必須將這兩個端點分開進行單獨討論：

1. 當 $x = -\frac{1}{3}$ 時： 將 $x = -1/3$ 代入原級數式：

   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n \left( -\frac{1}{3} \right)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -3 \cdot -\frac{1}{3} \right)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$

   我們將此級數與 $p$-級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ 進行極限比較（Limit Comparison Test）：

   $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{n^{1/2}}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1}} = 1 > 0$$

   因為 $p$-級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ 之特徵次數 $p = \frac{1}{2} \le 1$ 呈發散，所以根據極限比較法，當 $x = -1/3$ 時，級數是發散的。

2. 當 $x = \frac{1}{3}$ 時： 將 $x = 1/3$ 代入原級數式：

   $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n \left( \frac{1}{3} \right)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left( -3 \cdot \frac{1}{3} \right)^n}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$$

   這是一個交錯級數 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n$，其中一般項 $b_n = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 滿足：

   • $b_n > 0$ 對所有 $n \ge 1$ 恆成立。
   • $b_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2}} < \frac{1}{\sqrt{n+1}} = b_n$ （數列單調遞減）。
   • $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} = 0$。

   根據交錯級數審斂法 (Alternating Series Test / Leibniz’s Theorem)，當 $x = 1/3$ 時，級數是收斂的。

第三步：得出最終區間

結合上述結果，級數在開區間內收斂，在左端點發散，在右端點收斂。

結論： 收斂區間為 $\left( -\frac{1}{3},\, \frac{1}{3} \right]$（或寫作 $-\frac{1}{3} < x \le \frac{1}{3}$）。