1. 本題要求計算二維平面參數曲線在 $t \in [0, \pi/2]$ 區間內的弧長 $L$。
2. 平面參數曲線的弧長計算公式為： $L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \,\mathrm{d}t$
3. 第一步：求一階導函數：
   • $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -5\sin t + 5\sin 5t = 5(\sin 5t - \sin t)$
   • $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 5\cos t - 5\cos 5t = 5(\cos t - \cos 5t)$
4. 第二步：展開並化簡根號內的被積式： $\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2 = 25 \Big[ (\sin 5t - \sin t)^2 + (\cos t - \cos 5t)^2 \Big]$ 利用展開與畢氏三角恆等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$： $= 25 \Big[ (\sin^2 5t + \cos^2 5t) + (\sin^2 t + \cos^2 t) - 2(\cos 5t\cos t + \sin 5t\sin t) \Big]$ 利用餘弦差角公式 $\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$： $= 25 \Big[ 1 + 1 - 2\cos(5t - t) \Big] = 25 \Big[ 2 - 2\cos 4t \Big] = 50(1 - \cos 4t)$
5. 第三步：利用半角公式開根號：
   • 已知 $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta \implies 1 - \cos 4t = 2\sin^2 2t$。
   • 因此，被積式為 $50(2\sin^2 2t) = 100\sin^2 2t$。
   • 取平方根： $\sqrt{100\sin^2 2t} = 10|\sin 2t|$。
   • 因為 $t \in [0, \pi/2] \implies 2t \in [0, \pi]$，此時正弦值為正，故 $|\sin 2t| = \sin 2t$。
6. 對 $\sin 2t$ 進行定積分求解。

第一步：求參數曲線的導函數

已知參數方程式：

對參數 $t$ 進行微分：

第二步：計算並化簡速度模長（弧長微元）

我們計算根號內部的平方和：

利用畢氏三角恆等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，以及餘弦函數的差角公式 $\cos(A-B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B$：

利用半角公式的變形 $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2\theta$（令 $\theta = 2t$）：

因此：

第三步：開根號並計算定積分

弧長微元為：

因為已知參數區間 $t \in \left[0,\, \frac{\pi}{2}\right]$，則其二倍角 $2t$ 範圍為：

在此範圍內，正弦值 $\sin 2t \ge 0$。因此我們可以直接去掉絕對值符號：

我們對 $t$ 在 $\left[0,\, \frac{\pi}{2}\right]$ 範圍內進行定積分：

結論： 參數曲線的弧長為 $10$。