本題要求證明傅立葉級數理論中極為核心的正交性關係 (Orthogonality)。

a. 證明 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,\mathrm{d}x = 0$

• 觀察被積函數 $f(x) = \sin mx \cos nx$：
  • 正弦函數 $\sin mx$ 為奇函數 (Odd Function)，即 $\sin(-mx) = -\sin mx$。
  • 餘弦函數 $\cos nx$ 為偶函數 (Even Function)，即 $\cos(-nx) = \cos nx$。
  • 奇函數與偶函數的乘積為奇函數： $f(-x) = \sin(-mx) \cos(-nx) = (-\sin mx) \cos nx = -f(x)$
• 根據定積分的對稱性，奇函數在關於原點對稱的區間 $[-\pi, \pi]$ 上的積分值必恆為 $0$。這提供了一個極為直觀且優雅的最速證明。

b. 證明 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \,\mathrm{d}x = \begin{cases} 0 & \text{if } m \neq n \\ \pi & \text{if } m = n \end{cases}$

• 由於被積函數 $g(x) = \sin mx \sin nx$ 是兩個奇函數的乘積，它是偶函數。對稱性在此無法直接歸零，我們必須分兩種情況討論。
• 第一種情況：當 $m \neq n$ 時： 我們使用三角函數的積化和差公式： $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$ 將其轉換為兩個餘弦項的積分，由於 $m-n \neq 0$ 且 $m+n \neq 0$，積分後代入邊界值計算。
• 第二種情況：當 $m = n$ 時： 被積函數簡化為 $\sin^2 nx$。我們利用半角公式（倍角公式）進行降次： $\sin^2 nx = \frac{1 - \cos 2nx}{2}$ 直接積分求解。

a. 證明 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,\mathrm{d}x = 0$

令被積函數為 $f(x) = \sin mx \cos nx$。我們檢驗其奇偶性。 將 $-x$ 代入自變數：

根據三角函數性質，正弦函數為奇函數，餘弦函數為偶函數，即：

代回原式可得：

這說明 $f(x) = \sin mx \cos nx$ 在實數域上為一奇函數 (Odd Function)。

根據定積分在對稱區間上的幾何性質：任何奇函數在對稱於原點的閉區間 $[-a, a]$ 上的定積分皆為 $0$。因此：

定理得證。

b. 證明 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \,\mathrm{d}x = \begin{cases} 0 & \text{if } m \neq n \\ \pi & \text{if } m = n \end{cases}$

我們根據正整數 $m, n$ 是否相等，分以下兩種情況進行計算：

1. 當 $m \neq n$ 時：

我們利用三角函數的積化和差公式：

將其代回定積分中：

由於 $m, n$ 皆為正整數且 $m \neq n$，所以其和 $m+n$ 與差 $m-n$ 皆為非零整數。我們對兩項進行積分：

因為對於任意整數 $k$，恆有 $\sin(k\pi) = 0$，故上式中所有正弦項皆為 $0$：

2. 當 $m = n$ 時：

此時被積函數為 $\sin^2 nx$。我們利用二倍角公式進行降次代換：

代回定積分中計算：

同樣地，因為 $2n$ 是整數，所以 $\sin(2n\pi) = 0$。代入計算：

綜合以上兩點，即證明了：

結論： 正交關係式得證。