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113 政大微積分(應數大二二) 第 3 題

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113學年度 · 113微積分(應數大二二) · 第 3 題

題目

Problem

(10%) Let n≥2n \ge 2 be an integer. Prove the formula

∫sin⁡nx dx=−1ncos⁡xsin⁡n−1x+n−1n∫sin⁡n−2x dx.\int \sin^n x \,\mathrm{d}x = -\frac{1}{n} \cos x \sin^{n-1} x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \,\mathrm{d}x.

解答

解法一

思路

展開
  1. 本題要求證明正弦高次方積分的遞迴降次公式 (Reduction Formula)。
  2. 證明的經典手段是利用分部積分法 (Integration by Parts)。
  3. 第一步：拆分被積函數： 我們將 sin⁡nx\sin^n x 拆出一個 sin⁡x\sin x 以利於積分： ∫sin⁡nx dx=∫sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x = \int \sin^{n-1} x \cdot \sin x \,\mathrm{d}x
  4. 第二步：設定分部積分項：
    • 令 u=sin⁡n−1x  ⟹  du=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dxu = \sin^{n-1} x \implies \mathrm{d}u = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \,\mathrm{d}x（連鎖律）。
    • 令 dv=sin⁡x dx  ⟹  v=−cos⁡x\mathrm{d}v = \sin x \,\mathrm{d}x \implies v = -\cos x。
  5. 第三步：套用分部積分公式與代數整理： ∫sin⁡nx dx=−cos⁡xsin⁡n−1x−∫(−cos⁡x)⋅(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x = -\cos x \sin^{n-1} x - \int (-\cos x) \cdot (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \,\mathrm{d}x 將負號移出，並利用 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x 將所有餘弦項換為正弦項。
  6. 第四步：同類項合併與求出公式： 整理出含有 ∫sin⁡nx dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x 的項並將其移至等號左側，同除以係數 nn 即可證出該公式。

答題過程

展開

我們對不定積分 In=∫sin⁡nx dxI_n = \int \sin^n x \,\mathrm{d}x 使用分部積分法。首先將被積函數拆分：

∫sin⁡nx dx=∫sin⁡n−1x⋅sin⁡x dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x = \int \sin^{n-1} x \cdot \sin x \,\mathrm{d}x

設定分部積分的變數：

u=sin⁡n−1x  ⟹  du=(n−1)sin⁡n−2x⋅cos⁡x dxu = \sin^{n-1} x \implies \mathrm{d}u = (n-1)\sin^{n-2} x \cdot \cos x \,\mathrm{d}x dv=sin⁡x dx  ⟹  v=−cos⁡x\mathrm{d}v = \sin x \,\mathrm{d}x \implies v = -\cos x

套用分部積分公式 ∫u dv=uv−∫v du\int u \,\mathrm{d}v = uv - \int v \,\mathrm{d}u：

∫sin⁡nx dx= sin⁡n−1x⋅(−cos⁡x)−∫(−cos⁡x)⋅[(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x]dx= −cos⁡xsin⁡n−1x+(n−1)∫sin⁡n−2xcos⁡2x dx\begin{align*} \int \sin^n x \,\mathrm{d}x =&\, \sin^{n-1} x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot \left[ (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \right] \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \,\mathrm{d}x \end{align*}

我們利用三角恆等式 cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x 將被積函數中的餘弦項化為正弦項：

∫sin⁡nx dx= −cos⁡xsin⁡n−1x+(n−1)∫sin⁡n−2x(1−sin⁡2x)dx= −cos⁡xsin⁡n−1x+(n−1)(∫sin⁡n−2x dx−∫sin⁡nx dx)= −cos⁡xsin⁡n−1x+(n−1)∫sin⁡n−2x dx−(n−1)∫sin⁡nx dx\begin{align*} \int \sin^n x \,\mathrm{d}x =&\, -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \left( 1 - \sin^2 x \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \left( \int \sin^{n-2} x \,\mathrm{d}x - \int \sin^n x \,\mathrm{d}x \right) \\[4mm] =&\, -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \,\mathrm{d}x - (n-1) \int \sin^n x \,\mathrm{d}x \end{align*}

我們將等號右邊含有目標積分 ∫sin⁡nx dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x 的最後一項移到等號左側：

∫sin⁡nx dx+(n−1)∫sin⁡nx dx=−cos⁡xsin⁡n−1x+(n−1)∫sin⁡n−2x dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x + (n-1) \int \sin^n x \,\mathrm{d}x = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \,\mathrm{d}x

合併左側同類項：

n∫sin⁡nx dx=−cos⁡xsin⁡n−1x+(n−1)∫sin⁡n−2x dxn \int \sin^n x \,\mathrm{d}x = -\cos x \sin^{n-1} x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \,\mathrm{d}x

由於已知 n≥2n \ge 2，我們將兩側同除以 nn：

∫sin⁡nx dx=−1ncos⁡xsin⁡n−1x+n−1n∫sin⁡n−2x dx\int \sin^n x \,\mathrm{d}x = -\frac{1}{n} \cos x \sin^{n-1} x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \,\mathrm{d}x

結論： 遞迴公式得證。