本題包含三個獨立的積分計算。

(1) 計算 $\int_{0}^{\pi/2} \cos x \sin(\sin x) \,\mathrm{d}x$

• 觀察被積函數，含有複合函數 $\sin(\sin x)$，且外面乘上 $\cos x$（剛好是正弦的導數）。這強烈提示我們使用代換積分法 (Integration by Substitution)。
• 令 $u = \sin x \implies \mathrm{d}u = \cos x \,\mathrm{d}x$。
• 對應更改積分限：當 $x=0 \implies u=0$；當 $x=\pi/2 \implies u=1$。
• 積分變為 $\int_0^1 \sin u \,\mathrm{d}u$。

(2) 計算 $\int_{0}^{\pi/4} \sec^3 x \,\mathrm{d}x$

• 正割奇次方積分 $\sec^3 x$ 是非常經典的積分題，通常使用分部積分法 (Integration by Parts)： $\int u \,\mathrm{d}v = uv - \int v \,\mathrm{d}u$
  • 令 $u = \sec x \implies \mathrm{d}u = \sec x \tan x \,\mathrm{d}x$。
  • 令 $\mathrm{d}v = \sec^2 x \,\mathrm{d}x \implies v = \tan x$。
• 利用恆等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ 進行化簡，將同類項 $\int \sec^3 x \,\mathrm{d}x$ 移項合併。
• 最後代入上限 $\pi/4$ 與下限 $0$ 求值。

(3) 計算 $\int_{0}^{1} \ln x \,\mathrm{d}x$

• 由於在下限 $x \to 0^+$ 時， $\ln x \to -\infty$，這是一個反常積分 (Improper Integral)。
• 我們需要將其寫成極限形式： $\lim_{s \to 0^+} \int_{s}^{1} \ln x \,\mathrm{d}x$
• 利用分部積分法求出對數函數的積分： $\int \ln x \,\mathrm{d}x = x\ln x - x$。
• 利用洛必達法則求極限 $\lim_{s\to 0^+} s\ln s$ 的值。

(1) 計算 $\int_{0}^{\pi/2} \cos x \sin(\sin x) \,\mathrm{d}x$

我們使用代換積分法。令：

變更積分限：

• 當 $x = 0$ 時， $u = \sin 0 = 0$。
• 當 $x = \frac{\pi}{2}$ 時， $u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$。

代入積分式：

(2) 計算 $\int_{0}^{\pi/4} \sec^3 x \,\mathrm{d}x$

我們使用分部積分法，令：

套用分部積分公式：

利用三角恆等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ 代入：

將等號右邊的 $\int \sec^3 x \,\mathrm{d}x$ 移至左邊合併：

由此得到不定積分公式：

現在代入積分上下限 $[0, \frac{\pi}{4}]$：

已知：

• $\sec\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}$， $\tan\frac{\pi}{4} = 1$
• $\sec 0 = 1$， $\tan 0 = 0$

將數值代入：

(3) 計算 $\int_{0}^{1} \ln x \,\mathrm{d}x$

因為在 $x \to 0^+$ 時 $\ln x \to -\infty$，所以這是第二類反常積分。我們將其寫為極限形式：

先對 $\int \ln x \,\mathrm{d}x$ 使用分部積分法（令 $u = \ln x, \mathrm{d}v = \mathrm{d}x$）：

將定積分上限 $1$ 與下限 $s$ 代入：

現在取 $s \to 0^+$ 的極限。我們單獨使用羅必達法則計算 $\lim_{s \to 0^+} s\ln s$：

因此：

結論：

1. 積分值為 $1 - \cos 1$
2. 積分值為 $\frac{1}{2}\big(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\big)$
3. 積分值為 $-1$