1. 本題要求計算一個當 $n \to \infty$ 時的無窮項加總極限。這是典型的定積分極限（黎曼和 Riemann Sum） 應用。
2. 第一步：將級數寫成求和符號 $\sum$ 形式： $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+k}}$
3. 第二步：改寫為標準黎曼和形式 $\sum f(x_k) \Delta x$： 我們的目標是湊出自變數 $\frac{k}{n}$ 以及微元 $\frac{1}{n}$： $\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+k}} = \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n(1 + \frac{k}{n})}} = \frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} = \frac{1}{n\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} \cdot \frac{1}{n}$ 故原極限為： $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} \cdot \frac{1}{n}$
4. 第三步：轉換為定積分計算：
   • 令 $\Delta x = \frac{1}{n}$， $x_k = \frac{k}{n}$。當 $n \to \infty$ 時，積分區間為 $[0, 1]$。
   • 被積函數為 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-1/2}$。
   • 計算該定積分： $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x}} \,\mathrm{d}x$

首先，我們將待求極限的無窮級數以求和符號 $\sum$ 表示：

我們對一般項的根式進行整理，提取分母中的 $n$：

代回原極限式：

這是一個標準的黎曼和（Riemann Sum）極限。我們定義：

• 積分區間的寬度為 $\Delta x = \frac{1}{n}$。
• 分點為 $x_k = \frac{k}{n}$，其中當 $k$ 從 $1$ 變化到 $n$ 時， $x_k$ 從 $\frac{1}{n}$ 變化到 $1$。當 $n \to \infty$ 時，對應的積分上下限為 $[0, 1]$。
• 被積函數為 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$。

因此，該極限可轉換為以下定積分：

結論： 極限值為 $2(\sqrt{2} - 1)$。