題目

Problem

(15%) Find the extreme values of $f(x, y) = x^2 + y^2 + 4x - 4y$ on the region $\{(x, y) \mid x^2 + y^2 \le 9\}$ .

解答

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本題要求連續二元函數 $f(x, y) = x^2 + y^2 + 4x - 4y$ 在閉圓盤區域 $x^2 + y^2 \le 9$ 上的最大值與最小值。
根據閉區域極值定理，最值只可能出現在內部臨界點或邊界上的極值點。
第一步：分析內部臨界點（滿足 $x^2+y^2 < 9$ $x^{2} + y^{2} < 9$ 且 $\nabla f = \mathbf{0}$ $\nabla f = 0$ ）：
- $f_x = 2x + 4 = 0 \implies x = -2$ 。
- $f_y = 2y - 4 = 0 \implies y = 2$ 。
- 臨界點為 $(-2, 2)$ 。其距離平方為 $(-2)^2+2^2 = 8 < 9$ ，確實落在圓內部。其函數值為 $f(-2, 2) = -8$ 。
第二步：分析圓邊界上的點（ $x^2+y^2 = 9$ $x^{2} + y^{2} = 9$ ）：我們可以使用拉格朗日乘子法，設約束為 $g(x,y) = x^2+y^2 = 9$ $g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 9$ 。
- 方程組： $\nabla f = \lambda \nabla g \implies \langle 2x+4, 2y-4 \rangle = \lambda \langle 2x, 2y \rangle$ 。
- 簡化得 $x+2 = \lambda x$ 與 $y-2 = \lambda y \implies \lambda = 1 + \frac{2}{x} = 1 - \frac{2}{y} \implies x = -y$ 。
- 將 $x = -y$ 代入約束條件 $x^2+y^2=9 \implies 2y^2 = 9 \implies y = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$ 。
- 計算這兩個邊界點的函數值。
第三步：比較各點函數值：比較內部臨界點值與邊界點值，最大者為最大值，最小者為最小值。

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第一步：尋找區域內部的臨界點

我們對函數 $f(x, y) = x^2 + y^2 + 4x - 4y$ 在內部區域 $x^2+y^2 < 9$ 內求偏導，並令其為 $0$ ：

\begin{align*} \begin{cases} f_x(x, y) = 2x + 4 = 0 \implies x = -2 \\[2mm] f_y(x, y) = 2y - 4 = 0 \implies y = 2 \end{cases} \end{align*}

得到唯一的臨界點為 $P_0(-2, 2)$ 。我們檢驗該點是否在圓內部：

(-2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 < 9

該點確實位於內部。計算該點的函數值：

f(-2, 2) = (-2)^2 + 2^2 + 4(-2) - 4(2) = 4 + 4 - 8 - 8 = -8 \quad \text{--- (1)}

第二步：尋找邊界上的候選點 ( $x^2 + y^2 = 9$ )

我們使用拉格朗日乘子法。設定約束條件為：

g(x, y) = x^2 + y^2 = 9

偏微分方程組 $\nabla f(x, y) = \lambda \nabla g(x, y)$ 給出：

\begin{align*} \begin{cases} 2x + 4 = \lambda (2x) \implies x + 2 = \lambda x & \text{--- (2)} \\[2mm] 2y - 4 = \lambda (2y) \implies y - 2 = \lambda y & \text{--- (3)} \end{cases} \end{align*}

由式 (2) 與 (3) 可知 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$ （否則會導致 $2=0$ 的矛盾）。我們解出 $\lambda$ ：

\lambda = \frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x}

\lambda = \frac{y-2}{y} = 1 - \frac{2}{y}

使兩者相等：

1 + \frac{2}{x} = 1 - \frac{2}{y} \implies \frac{2}{x} = -\frac{2}{y} \implies x = -y \quad \text{--- (4)}

將式 (4) 代回邊界約束條件 $x^2 + y^2 = 9$ ：

(-y)^2 + y^2 = 9 \implies 2y^2 = 9 \implies y = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}

這給出兩個邊界點：

點 $P_1\left( -\frac{3}{\sqrt{2}},\, \frac{3}{\sqrt{2}} \right)$ ：我們注意到 $x^2+y^2 = 9$ ，所以代入時可直接簡化：
$\begin{align*} f\left( -\frac{3}{\sqrt{2}},\, \frac{3}{\sqrt{2}} \right) =&\, 9 + 4\left( -\frac{3}{\sqrt{2}} \right) - 4\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right) \\[2mm] =&\, 9 - \frac{12}{\sqrt{2}} - \frac{12}{\sqrt{2}} = 9 - \frac{24}{\sqrt{2}} = 9 - 12\sqrt{2} \quad \text{--- (5)} \end{align*}$
點 $P_2\left( \frac{3}{\sqrt{2}},\, -\frac{3}{\sqrt{2}} \right)$ ：
$\begin{align*} f\left( \frac{3}{\sqrt{2}},\, -\frac{3}{\sqrt{2}} \right) =&\, 9 + 4\left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right) - 4\left( -\frac{3}{\sqrt{2}} \right) \\[2mm] =&\, 9 + \frac{12}{\sqrt{2}} + \frac{12}{\sqrt{2}} = 9 + 12\sqrt{2} \quad \text{--- (6)} \end{align*}$

第三步：比較數值大小

我們比較式 (1)、(5) 與 (6) 的函數值：

$\displaystyle f(P_2) = 9 + 12\sqrt{2}$ ：因為 $12\sqrt{2} > 0$ ，所以這顯然是最大值。
比較 $f(P_0) = -8$ 與 $f(P_1) = 9 - 12\sqrt{2}$ ：因為 $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，所以： $12\sqrt{2} \approx 16.97 \implies 9 - 12\sqrt{2} \approx -7.97$ 顯然有 $-8 < -7.97 \implies f(P_0) < f(P_1)$ 。

因此，最小值為 $-8$ ，最大值為 $9 + 12\sqrt{2}$ 。

結論：

全域最大值為 $9 + 12\sqrt{2}$ （發生在邊界點 $\left( \frac{3}{\sqrt{2}}, -\frac{3}{\sqrt{2}} \right)$ 處）。
全域最小值為 $-8$ （發生在內部臨界點 $(-2, 2)$ 處）。