本題討論一個分段定義的二元函數在原點的偏導數與在全平面上的連續性。

a. 求 $f_x(0,0)$ 與 $f_y(0,0)$

• 因為原點 $(0,0)$ 是函數分段定義的交界點，我們必須使用偏導數的極限定義來計算： $f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$ $f_y(0,0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$
• 依據定義直接計算即可。

b. 分析 $f(x,y)$ 的連續性

• 在點 $(x_0, y_0) \neq (0, 0)$： 此時函數的局部表達式為分式形式 $\frac{xy}{x^2+y^2}$。由於分母 $x^2+y^2 \neq 0$，這是一個初等有理函數，因此在所有非原點處必然是連續的。
• 在原點 $(0, 0)$： 我們需要檢驗極限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 是否存在且等於 $f(0,0) = 0$。 我們採用直線路徑法，讓 $(x,y)$ 沿著通過原點的直線 $y = kx$ 趨近於原點： $\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0) \\ y=kx}} f(x,y) = \lim_{x\to 0} \frac{x(kx)}{x^2+(kx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{k x^2}{(1+k^2)x^2} = \frac{k}{1+k^2}$ 由於極限值與直線斜率 $k$ 有關，這說明當自變數從不同方向趨近於原點時，極限值不同。 因此，極限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在。 這說明函數在原點 $(0,0)$ 處是不連續的。

a. 計算 $f_x(0, 0)$ 與 $f_y(0, 0)$

根據偏導數的極限定義，我們在原點進行計算：

1. 計算關於 $x$ 的偏導數 $f_x(0,0)$：

   $$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$$

   當 $h \neq 0$ 時，根據函數定義：

   $$f(h, 0) = \frac{h \cdot 0}{h^2 + 0^2} = 0$$

   又已知 $f(0, 0) = 0$。將其代入極限：

   $$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

2. 計算關於 $y$ 的偏導數 $f_y(0,0)$：

   $$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$$

   當 $k \neq 0$ 時，根據函數定義：

   $$f(0, k) = \frac{0 \cdot k}{0^2 + k^2} = 0$$

   代入極限：

   $$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = \lim_{k \to 0} 0 = 0$$

b. 分析 $f(x, y)$ 的連續區域

1. 對於所有 $(x, y) \neq (0, 0)$： 被積式 $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ 是一個有理函數（初等函數）。因為分母 $x^2+y^2 > 0$ 恆成立，根據初等函數在其定義域內連續的性質， $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ 上是連續的。

2. 對於原點 $(0, 0)$： 我們檢驗極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$。 設路徑為通過原點的直線 $y = kx$（其中 $k$ 為任意實數），當 $x \to 0$ 時， $(x, kx) \to (0,0)$：

   $$\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0) \\ y=kx}} f(x, y) = \lim_{x \to 0} \frac{x(kx)}{x^2 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{k x^2}{(1+k^2)x^2} = \frac{k}{1+k^2}$$

   當我們取不同斜率的直線趨近原點時，極限值也隨之改變。例如：

   • 沿 $y = x$ （$k = 1$），極限值為 $\frac{1}{2}$。
   • 沿 $y = 0$ （$k = 0$），極限值為 $0$。

   因為從不同路徑趨近原點時所得的極限值不相等，所以二元極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)$ 不存在。 這說明函數在 $(0, 0)$ 處不連續。

結論： 函數 $f(x, y)$ 的連續區域為除了原點之外的所有點，即：