1. 本題要求證明柯西均值定理 (Cauchy’s Mean Value Theorem)。
2. 證明的經典思路是建構一個輔助函數 $h(x)$，使其滿足 羅爾定理 (Rolle’s Theorem) 的條件：
   • $h(x)$ 在 $[a, b]$ 上連續。
   • $h(x)$ 在 $(a, b)$ 上可導。
   • $h(a) = h(b)$。
3. 輔助函數建構法： 我們將待證式的分母交叉相乘： $f'(c)[g(b) - g(a)] - g'(c)[f(b) - f(a)] = 0$ 這提示我們將 $c$ 換回 $x$，對其進行不定積分以得到輔助函數： $h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)]$
4. 驗證 $h(a) = h(b)$：
   • $h(a) = f(a)g(b) - g(a)f(b)$
   • $h(b) = f(b)g(a) - g(b)f(a)$ （經展開後，兩者確實相等）。
5. 接著套用羅爾定理，即可得出結論。注意在證明過程中，需說明分母 $g(b) - g(a) \neq 0$ 的原因。

第一步：排除分母為 0 的可能性

我們先說明 $g(b) - g(a) \neq 0$。 假設 $g(b) = g(a)$，由於 $g$ 在 $[a, b]$ 上連續且在 $(a, b)$ 上可導，根據羅爾定理 (Rolle’s Theorem)，在 $(a, b)$ 內至少存在一點 $c'$ 使得：

但這與題目給定的已知條件「對所有 $x \in (a, b)$， $g'(x) \neq 0$」產生矛盾。因此，必定有：

第二步：建構輔助函數並驗證羅爾定理條件

我們定義輔助函數 $h(x)$ 如下：

由於 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上連續，且在 $(a, b)$ 上可導，作為它們的線性組合，輔助函數 $h(x)$ 同樣滿足：

1. $h(x)$ 在 $[a, b]$ 上連續。
2. $h(x)$ 在 $(a, b)$ 上可導。

接下來，我們計算端點值 $h(a)$ 與 $h(b)$：

因此：

第三步：套用羅爾定理完成證明

因為 $h(x)$ 完全符合羅爾定理的所有前提條件，所以在開區間 $(a, b)$ 內至少存在一點 $c$ 使得：

我們對 $h(x)$ 求導可得：

將 $x = c$ 代入，有：

移項整理：

由於已證 $g'(c) \neq 0$ 且 $g(b) - g(a) \neq 0$，我們將兩側同除以 $g'(c)[g(b) - g(a)]$，即得：

結論： 定理得證。