本題分為兩個小題。第一小題要求證明「導數為零則函數為常數」，這是微積分學中的經典定理；第二小題則要求利用第一小題的結論證明一個反三角函數的恆等式。

a. 證明 $f'(x) = 0$ 則 $f(x)$ 為常數

• 要證明 $f(x)$ 在區間 $(a, b)$ 上是常數，等價於證明對於區間內任意兩點 $x_1, x_2$（假設 $x_1 < x_2$），皆有 $f(x_1) = f(x_2)$。
• 由於 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可導，因此它在任何子區間 $[x_1, x_2]$ 上皆連續，且在 $(x_1, x_2)$ 上可導。
• 根據拉格朗日中值定理 (Mean Value Theorem)，存在一個 $c \in (x_1, x_2)$ 滿足： $f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$
• 因為已知在 $(a, b)$ 內 $f'(x) = 0$ 恆成立，所以 $f'(c) = 0$。由此可得 $f(x_2) - f(x_1) = 0$，即 $f(x_1) = f(x_2)$。

b. 證明 $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$

• 定義一個新的函數 $g(x) = \tan^{-1} x + \cot^{-1} x$。
• 對 $g(x)$ 求導： $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan^{-1} x) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cot^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{-1}{1+x^2} = 0$
• 由於對所有實數 $x$ 都有 $g'(x) = 0$，根據 (a) 小題的結論， $g(x)$ 在整個實數域 $\mathbb{R}$ 上是常數，即 $g(x) = C$。
• 為了求出常數 $C$ 的具體值，我們隨意代入一個特殊點（如 $x=1$ 或 $x=0$ 的極限）進行計算。代入 $x=1$： $g(1) = \tan^{-1}(1) + \cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
• 因此，對所有實數 $x$ 皆有 $g(x) = \frac{\pi}{2}$。

a. 證明若 $f'(x) = 0$ 對所有 $x \in (a, b)$ 成立，則 $f$ 為常數

我們要在區間 $(a, b)$ 中任意選取兩點 $x_1, x_2$，並假設 $a < x_1 < x_2 < b$。

因為 $f(x)$ 在開區間 $(a, b)$ 上是可導的，所以：

1. $f(x)$ 在閉子區間 $[x_1, x_2]$ 上連續。
2. $f(x)$ 在開子區間 $(x_1, x_2)$ 上可導。

根據拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem），在開區間 $(x_1, x_2)$ 內至少存在一點 $c$（即 $x_1 < c < x_2$），使得：

這可以寫成：

由於已知對所有 $x \in (a, b)$ 都有 $f'(x) = 0$，而 $c$ 落在該區間內，故有：

將其代回式 (1) 中，可得：

因為 $x_1, x_2$ 是從區間 $(a, b)$ 內任意選取的兩點，這說明函數在區間內任意兩點的函數值皆相等，故 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上為一常數函數。

b. 證明 $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$

我們定義實數域上的函數為：

對 $g(x)$ 關於 $x$ 求導：

由於對任意實數 $x$ 都有 $g'(x) = 0$，根據 (a) 小題的結論， $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上必為一常數函數。設：

為了求出 $C$ 的值，我們選擇代入特殊值 $x = 1$：

因此，常數 $C = \frac{\pi}{2}$。這證明了對於所有實數 $x$，恆有：