1. 本題給出一個隱函數方程式 $y e^{\sin x} = x \cos y$，要求其在點 $(0, 0)$ 處的切線方程式。
2. 切線方程式需要切點（已知為 $(0, 0)$）與切線斜率 $m = \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(0,0)}$。
3. 第一步：隱函數求導：
   • 對方程式 $y e^{\sin x} = x \cos y$ 兩邊同時關於 $x$ 求導（注意對 $y$ 項求導時需乘上 $y'$，且兩邊皆需使用乘積與連鎖法則）： $\text{LHS: } y' \cdot e^{\sin x} + y \cdot e^{\sin x} \cos x$ $\text{RHS: } 1 \cdot \cos y + x \cdot (-\sin y) y' = \cos y - x y' \sin y$
   • 整理出 $y'$ 的表達式： $y' \left( e^{\sin x} + x \sin y \right) = \cos y - y e^{\sin x} \cos x \implies y' = \frac{\cos y - y e^{\sin x} \cos x}{e^{\sin x} + x \sin y}$
4. 第二步：求切線斜率：
   • 將 $x=0, y=0$ 代入導函數式，求出斜率 $m$。
5. 第三步：求切線方程式：
   • 利用點斜式寫出方程式。

第一步：求隱函數的導數

給定隱函數方程式：

兩邊同時對 $x$ 求偏導，注意 $y$ 是 $x$ 的函數：

• 左式微分（乘積與連鎖律）： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( y e^{\sin x} \right) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} e^{\sin x} + y \left( e^{\sin x} \cos x \right)$$
• 右式微分（乘積與連鎖律）： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \cos y \right) = 1 \cdot \cos y + x \cdot \left( -\sin y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) = \cos y - x \sin y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$

兩側相等：

將所有含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的項移至左側，其餘移至右側：

整理得：

第二步：求點 $(0, 0)$ 處的切線斜率

將 $x = 0, y = 0$ 代入式 (1) 中（注意 $\sin 0 = 0$, $\cos 0 = 1$, $e^0 = 1$）：

第三步：求切線方程式

已知切線通過點 $(0, 0)$，且斜率為 $m = 1$。使用點斜式：

結論： 切線方程式為 $y = x$（或寫作 $x - y = 0$）。