1. 本題給出一個三層嵌套的複合函數 $F(x) = f(x f(x f(x)))$，要求在 $x=1$ 處的導數。
2. 我們必須極其仔細地套用連鎖律 (Chain Rule) 與乘積求導法則 (Product Rule)。
3. 第一步：定義內部函數簡化記號：
   • 令最內層 $u(x) = x f(x)$，則 $u'(x) = f(x) + x f'(x)$。
   • 令中間層 $v(x) = x f(u(x))$，利用乘積與複合函數求導： $v'(x) = 1 \cdot f(u(x)) + x \cdot f'(u(x)) \cdot u'(x)$
   • 原函數可表示為： $F(x) = f(v(x))$ 其導數為： $F'(x) = f'(v(x)) \cdot v'(x)$
4. 第二步：代入數值計算：
   • 題目給定： $f(1)=2, f(2)=3, f'(1)=4, f'(2)=5, f'(3)=6$。
   • 自內向外，依次計算 $u(1)$、 $u'(1)$、 $v(1)$、 $v'(1)$，最後代入求出 $F'(1)$。

我們定義以下輔助函數以利於求導過程的書寫：

1. 令 $u(x) = x f(x)$。
2. 令 $v(x) = x f(u(x)) = x f(x f(x))$。

此時原函數可簡寫為：

第一步：自內而外進行求導

1. 對 $u(x) = x f(x)$ 求導（乘積求導法則）：

   $$u'(x) = f(x) + x f'(x)$$

2. 對 $v(x) = x f(u(x))$ 求導（乘積與連鎖律）：

   $$v'(x) = f(u(x)) + x \cdot f'(u(x)) \cdot u'(x)$$

3. 對 $F(x) = f(v(x))$ 求導（連鎖律）：

   $$F'(x) = f'(v(x)) \cdot v'(x)$$

第二步：代入 $x = 1$ 的已知數值

已知數據：

• $f(1) = 2$
• $f(2) = 3$
• $f'(1) = 4$
• $f'(2) = 5$
• $f'(3) = 6$

我們依序計算各項在 $x=1$ 的值：

1. 計算 $u(1)$ 與 $u'(1)$：

   $$u(1) = 1 \cdot f(1) = 2$$ $$u'(1) = f(1) + 1 \cdot f'(1) = 2 + 4 = 6$$

2. 計算 $v(1)$ 與 $v'(1)$：

   $$v(1) = 1 \cdot f(u(1)) = f(2) = 3$$ $$\begin{align*} v'(1) =&\, f(u(1)) + 1 \cdot f'(u(1)) \cdot u'(1) \\[2mm] =&\, f(2) + f'(2) \cdot 6 \\[2mm] =&\, 3 + 5 \cdot 6 = 3 + 30 = 33 \end{align*}$$

3. 計算 $F'(1)$：

   $$F'(1) = f'(v(1)) \cdot v'(1) = f'(3) \cdot 33 = 6 \cdot 33 = 198$$

結論： $F'(1) = 198$。