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113 政大微積分(應數大二一) 第 1 題

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113學年度 · 113微積分(應數大二一) · 第 1 題

題目

Problem

Find the limits.

a. (10%) lim⁡x→0+xx\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}}

b. (10%) lim⁡x→3(xx−3∫3xsin⁡tt dt)\displaystyle \lim_{x \to 3} \left( \frac{x}{x-3} \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t \right)

(1) a. = 見解答‾\underline{\quad\text{見解答}\quad}，b. = 見解答‾\underline{\quad\text{見解答}\quad}.

解答

解法一

思路

展開

本題分為兩個獨立的極限計算。

a. 求 lim⁡x→0+xx\lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}}

  • 當 x→0+x \to 0^+ 時，底數 x→0x \to 0，指數 x→0\sqrt{x} \to 0。這是一個 000^0 型未定式。
  • 對於 000^0 型未定式，我們採用自然對數變形： y=xx  ⟹  ln⁡y=xln⁡xy = x^{\sqrt{x}} \implies \ln y = \sqrt{x} \ln x
  • 當 x→0+x \to 0^+ 時， ln⁡y\ln y 形成 0⋅(−∞)0 \cdot (-\infty) 的不定型，可改寫為分式形式以套用羅必達法則： lim⁡x→0+ln⁡y=lim⁡x→0+ln⁡xx−1/2\lim_{x\to 0^+} \ln y = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-1/2}} 對其求導並計算，最後取指數即可。

b. 求 lim⁡x→3(xx−3∫3xsin⁡tt dt)\lim_{x \to 3} \left( \frac{x}{x-3} \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t \right)

  • 將極限整理為分式： lim⁡x→3x∫3xsin⁡tt dtx−3\lim_{x \to 3} \frac{x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t}{x - 3}
  • 當 x→3x \to 3 時，分母為 3−3=03-3=0。分子中，積分項 ∫33sin⁡tt dt=0\int_3^3 \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t = 0，故分子也為 00。這是一個 00\frac{0}{0} 型未定式。
  • 我們可以直接套用羅必達法則，對分子關於 xx 求導時需利用乘積求導法則與微積分基本定理（FTC）： ddx(x∫3xsin⁡tt dt)=1⋅∫3xsin⁡tt dt+x⋅sin⁡xx=∫3xsin⁡tt dt+sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t \right) = 1 \cdot \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t + x \cdot \frac{\sin x}{x} = \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t + \sin x
  • 對分母求導得到 11，代入 x=3x=3 即可。

答題過程

展開

a. 計算 lim⁡x→0+xx\lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}}

令 y=xxy = x^{\sqrt{x}}，兩邊取自然對數：

ln⁡y=ln⁡(xx)=xln⁡x\ln y = \ln\left( x^{\sqrt{x}} \right) = \sqrt{x} \ln x

我們計算 x→0+x \to 0^+ 時 ln⁡y\ln y 的極限，將其改寫為 −∞∞\frac{-\infty}{\infty} 型以準備使用羅必達法則：

lim⁡x→0+ln⁡y=lim⁡x→0+ln⁡xx−12\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-\frac{1}{2}}}

對分子與分母分別關於 xx 求導：

lim⁡x→0+ln⁡y=L.H. lim⁡x→0+ddx(ln⁡x)ddx(x−12)= lim⁡x→0+1x−12x−32= lim⁡x→0+(−2⋅x32x)= lim⁡x→0+(−2x)=0\begin{align*} \lim_{x \to 0^+} \ln y \stackrel{\text{L.H.}}{=}&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln x)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \left( -2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} \right) \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 0^+} \left( -2\sqrt{x} \right) = 0 \end{align*}

因此，原極限為：

lim⁡x→0+xx=lim⁡x→0+eln⁡y=e0=1\lim_{x \to 0^+} x^{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} e^{\ln y} = e^0 = 1

b. 計算 lim⁡x→3(xx−3∫3xsin⁡tt dt)\lim_{x \to 3} \left( \frac{x}{x-3} \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t \right)

我們將極限重寫為單一分式：

L=lim⁡x→3x∫3xsin⁡tt dtx−3L = \lim_{x \to 3} \frac{x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t}{x - 3}

當 x→3x \to 3 時，極限呈 00\frac{0}{0} 型。對分子與分母分別求導（套用羅必達法則與微積分基本定理）：

L=L.H. lim⁡x→3ddx(x∫3xsin⁡tt dt)ddx(x−3)= lim⁡x→3(∫3xsin⁡tt dt+x⋅sin⁡xx)1= lim⁡x→3(∫3xsin⁡tt dt+sin⁡x)\begin{align*} L \stackrel{\text{L.H.}}{=}&\, \lim_{x \to 3} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t \right)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x - 3)} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 3} \frac{\left( \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t + x \cdot \frac{\sin x}{x} \right)}{1} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to 3} \left( \int_{3}^{x} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t + \sin x \right) \end{align*}

將 x=3x = 3 代入：

L=∫33sin⁡tt dt+sin⁡3=0+sin⁡3=sin⁡3L = \int_{3}^{3} \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t + \sin 3 = 0 + \sin 3 = \sin 3

結論：

  • a. 的極限值為 11
  • b. 的極限值為 sin⁡3\sin 3