1. 本題給出了動差生成函數 $M(t)$ 的前兩階導數在原點的值，要求一類特殊的極限。
2. 由於 $M(t)$ 在 $t=0$ 處可微（且具有二階連續導數），我們可以在 $t=0$ 附近對其進行泰勒（麥克勞林）級數展開： $M(u) = M(0) + M'(0)u + \frac{M''(0)}{2!}u^2 + o(u^2)$
3. 第一步：寫出 $M(u)$ 的泰勒展開：
   • 代入已知條件 $M(0)=1, M'(0)=0, M''(0)=1$： $M(u) = 1 + 0 \cdot u + \frac{1}{2}u^2 + o(u^2) = 1 + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$
4. 第二步：將 $u = \frac{t}{\sqrt{n}}$ 代入展開式：
   • 當 $n \to \infty$ 時， $u \to 0$。
   • 代入得： $M\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) = 1 + \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$
5. 第三步：利用極限重要公式計算 $n$ 次方極限：
   • 由於 $\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{A}{n} + o(1/n) \right)^n = e^A$： $\lim_{n\to\infty} \left\{ M\left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) \right\}^n = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)^n = e^{t^2 / 2}$

因為 $M(t)$ 是在 $t = 0$ 的鄰域內無限可微的函數，我們對其在 $u = 0$ 處進行二階泰勒（麥克勞林）多項式展開：

其中 $o(u^2)$ 代表比 $u^2$ 更高階的無窮小量。

我們代入題目給定的已知條件 $M(0) = 1, \ M'(0) = 0, \ M''(0) = 1$：

現在，我們令 $u = \frac{t}{\sqrt{n}}$。當 $n \to \infty$ 時，顯然有 $u \to 0$。代回泰勒展開式：

我們要計算當 $n \to \infty$ 時的極限：

我們取自然對數以簡化指數：

利用等價無窮小關係，當 $v \to 0$ 時 $\ln(1 + v) \sim v$： 在此處 $v = \frac{t^2}{2n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \to 0$：

根據高階無窮小定義， $\lim_{n \to \infty} n \cdot o\left( \frac{1}{n} \right) = 0$。因此：

還原極限值：

故得證：